Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення)

Інтегрування розкладом

Базується на 5-й властивості невизначеного інтеграла. Мета – розкласти підінтегральну ф-ію на такі доданки, які простіше інтегрувати.

Інтегрування частинами

Теорема: Якщо функції u(x) та v(x) мають неперервні похідні, то: Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru

На практиці ф-ії u(x) та v(x) рекомендується вибирати за таким правилом: при інтегруванні частинами підінтегральний вираз f(x)dx розбивають на два множники типу udv, тобто f(x)dx=udv; при цьому ф-ія u(x) вибирається такою, щоб при диференціюванні вона спрощувалася, а за dv приймають залишок підінтегрального виразу, який мітить dx, інтеграл від якого відомий, або може бути просто знайдений.

Деякі типи інтегралів і їх заміни:

v(x): Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru

Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru

де Р(х) – многочлен, Q(x) – алгебраїчна ф-ія.

6. Метод підстановки

Мета – перетворити інтеграл до такого вигляду, який простіше інтегрувати.

Теорема. Якщо f(x) – неперервна, а x=j(t) має неперервну похідну, то:

Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru

Наслідок.

Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru

7. Метод безпосереднього інтегрування

В цьому методі використ. формула

Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru

варіанту заміни змінної, але саму змінну не записують (роблять усно) При цьому використовують операцію внесення ф-ії під знак диференціала.

Через це, якщо: Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru , то:

Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru

Під знак диференціала можна вносити будь-який сталий доданок – значення диференціалу від цього не зміниться.

8. Інтегрування раціональних ф-ій

Означення: Відношення двох многочленів Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru називається раціональним дробом.

Означення: Раціональний дріб правильний, якщо степінь многочлена в чисельнику менший степеня многочлена в знаменнику, тобто n<m. Якщо ж n³m, то дріб неправильний.

Найпростіші раціональні дроби (4 типи):

1. Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru 2. Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru 3. Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru 4. Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru

де k³2, kÎN, D=p2-4q<0

Теорема: Будь-який правильний раціональний нескоротний дріб можна представити у вигляді скінченого числа найпростіших дробів використовуючи такі правила:

1) Якщо Qm(x)=(x-a)k×gm-k(x), то:

Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru

2) Якщо Qm(x)=(x2+px+q)k×gm-2k(x), то:

Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru

де Аі, Ві, Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru – деякі коефіцієнти, Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru та Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru правильні раціональні дроби.

Методика інтегрування раціональних ф-ій:

1. Якщо підінтегральна ф-ія – неправильний раціональний дріб, то за допомогою ділення його розкладають на суму многочлена і правильного раціонального дробу.

2. Знаменник правильного раціон. дробу розкладають на множники. По вигляду знаменника, правильний раціон. дріб представляють у вигляді найпростіших дробів, використовуючи метод невизначених коефіцієнтів.

3. Інтегрують цілу частину і найпростіші дроби.

9. Інтегрування тригонометричних функцій

Розглянемо òR(sin x,cos x)dx, де R – раціональна ф-ія відносно sin, cos, тобто над sin, cos викон. лише арифметичні дії та піднесення до цілого степеня. Існують такі підстановки, що за їх допомогою інтеграл òR(sinx,cosx)dx завжди може бути зведений до інтеграла від раціональної ф-ії òR*(t)dt, загальна схема інтегрування якої розроблена.

1) Універсальна тригонометрична підстановка Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru . На практиці універсальну тригонометричну підстановку використовують, якщо sin x, cos x входять в невисокому степені, інакше підрахунки будуть складні.

2) Підінтегральна ф-ія – непарна відносно sin x, тоді роблять підстановку cos x = t.

3) Підінтегральна ф-ія – непарна відносно cos x раціоналізується за допомогою підстановки sin x = t.

4) Підінтегральна ф-ія R(sin x, cos x) – парна по sinx, cosx сукупно, тобто R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx). В цьому випадку використовують підстановку tgx=t або ctgx=t.

5) Підінтегральна ф-ія R(tgx) раціоналізується підстановкою tgx=t.

В інтегралах òsin2nx×cos2mxdx рекомендується скористатися формулами зниження степеня.

10. Інтегрування ірраціональних функцій.

1) Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru

2) Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru

3) Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru

Підінтегральна ф-ія Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru після виділення повного квадрата і заміни Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru раціоналізується тригонометричними підстановками.

ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

1. Поняття визначеного інтеграла

Означення: Якщо існує скінченна границя інтегральних сум Sn при lі­­à0 і не залежить ні від способу розбиття [a;b] на частини Dхі, ні від вибору точок xі, то ця границя називається визначеним інтегралом від ф-ії f(x) на проміжку [a;b] і позначається:

Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru

За означенням, визначений інтеграл Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru – число, яке залежить від типу ф-ії f(x) та проміжку [a;b]; він не залежить від того, якою буквою позначена змінна інтегрування.

Ф-ія, для якої на інтервалі існує визначений інтеграл називається інтегровною.

2. Властивості визначеного інтеграла

1) Якщо f(x)=c=const, то Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru

2) Сталий множник можна виносити з-під знака визначеного інтеграла.

3) Якщо f1(x) та f2(x)інтегровні на [a;b], то: Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru

4) Якщо у визначеному інтегралі поміняти місцями межі інтегрування, то інтеграл лише змінить свій знак на протилежний.

5) Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю.

6) Якщо f(x) – інтегровна в будь-якому із проміжків [a;b], [a;c], [c;b], то: Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru

7) Якщо f(x)³0 і інтегровна для xÎ[a,b], b>a, то Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru

8) Якщо f(x), g(x) – інтегровні та f(x)³g(x) для xÎ[a;b], b>a, то: Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru

9) Якщо f(x) – інтегровна та m£f(x)£M, для xÎ[a;b], b>a, то Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru

10) (Теорема про середнє): Якщо ф-ія f(x) – неперервна для xÎ[a;b], b>a, то знайдеться така точка x= cÎ [a;b], що: Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru

3. Поняття визначеного інтеграла із змінною верхньою межею інтегрування, формула Ньютона-Лейбніца.

Теорема: Якщо ф-ія f(x) неперервна для будь-якого xÎ[a;b], то похідна від інтеграла із змінною верхньою межею інтегрування по цій межі дорівнює підінтегральній ф-ії від верхньої межі інтегрування, тобто:

Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru

Наслідки: 1) Визначений інтеграл із змінною верхньою межею від ф-ії f(x) є одна із первісних для f(x). 2) Будь-яка неперервна ф-ія на проміжку [a;b] має на цьому проміжку первісну, яку, наприклад, завжди можна побудувати у вигляді визначеного інтеграла із змінною верхньою межею.

Теорема (Ньютона-Лейбніца): Якщо ф-ія f(x) – неперервна для xÎ [a;b], то визначений інтеграл від ф-ії f(x) на проміжку [a;b] дорівнює приросту первісної ф-ії f(x) на цьому проміжку, тобто:

Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru де F’(x)=f(x)

Зв’язок між визначеним та невизначеним інтегралами можна представити такою рівністю:

Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru Наслідок: Для обчислення визначеного інтеграла достатньо знайти одну із первісних підінтегральної ф-ії і виконати над нею подвійну підстановку.

4. Метод підстановки у визначеному інтегралі

Теорема: Якщо: 1) f(x) – неперервна для xÎ[a;b]; 2) j(a)=а, j(b)=b; 3) x=j(t) та j‘(t) – неперервні для tÎ [a;b]; 4) при tÎ [a;b]èxÎ [a;b], то

Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru

Зауваження: При заміні змінної інтегрування у визначеному інтегралі змінюються межі інтегрування і тому нема потреби повертатись до початкової змінної.

5. Інтегрування частинам у визначеному інтегралі

Теорема: Якщо ф-ії u(x) та v(x) мають неперервні похідні для xÎ[a;b], то Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru

УЗАГАЛЬНЕННЯ ПОНЯТТЯ ІНТЕГРАЛА

1. Невластиві інтеграли із нескінченним проміжком інтегрування

Нехай f(x) інтегровна для будь-якого скінченного bÎ[a;+¥), так що Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru існує.

Означення: Границя Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru при bà+¥ називається невластивим інтегралом від ф-ії не нескінченному проміжку [a;+¥) і позначається:

Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru

Якщо ця границя скінченна, то невластивий інтеграл називається збіжним, а якщо не існує (в тому числі нескінченна), – розбіжним.

Вважаючи, що f(x) – інтегровна для скінченних a та b, формули для обчислення невластивих інтегралів на нескінченному проміжку мають вигляд:

Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru

де с=const.

Теорема: Якщо при x ³ a має місце нерівність 0£f(x)£g(x) то із збіжності інтеграла Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru виходить збіжність інтеграла Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru , або із розбіжності Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru випливає розбіжність Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru .

2. Обчислення невластивих інтегралів від розривних (необмежених) функцій

Нехай f(x) неперервна на проміжку (a;b] та при x=a має розрив 2-го роду.

Означення: Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru називається невластивим інтегралом від розрізненої (необмеженої) функції f(x).

Якщо ця границя існує – інтеграл збіжний, якщо ні – розбіжний.

Для обчислення таких невластивих інтегралів використовують такі формули:

1) x = a – точка розриву f(x),

Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru

2) x = b – точка розриву f(x),

Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru

3) x=cÎ(a;b) –точка розриву f(x),

Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru

Зауваження: до невластивих інтегралів, які мають точку розриву, що є внутрішньою для [a;b] не можна застосовувати формулу Ньютона-Лейбніца.

3. Поняття подвійного інтеграла

Означення: Якщо Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru існує та не залежить ні від способу розбиття області D на частини, ні від вибору точок Mi, то ця границя називається подвійним інтегралом від функції трьох змінних u=f(x,y,z) в тривимірній області D, який позначається так:

Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru За такою схемою можна побудувати ­n-кратний інтеграл від функції n змінних u=f(M), M(x1, x2,…, xn,) у відповідній області D.

Властивості подвійного інтеграла:

1. Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru

2. Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru

3. Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru якщо D=D1ÈD2 D1ÇD2= Æ.

4. Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru S – площа області D.

4. Обчислення подвійного інтеграла зведенням до повторного інтеграла

Означення: Область D називається правильною по відношенню до деякої осі, якщо будь-яка пряма паралельна цій осі перетинає межу області не більше ніж у двох точках.

5. Заміна змінних інтегрування в подвійному інтегралі

Теорема: Якщо ф-ія f(x;y) неперервна в області D, а ф-ії x=j(u;v), y=y(u;v) диференційовні і встановлюють взаємно-однозначну в системі Ouv, і при цьому їхній якобіан зберігає незмінним свій знак в області D, то має місце формула: Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru

6. Поняття криволінійних інтегралів першого та другого роду

Криволінійний інтеграл першого роду

Означення: Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru

називається криволінійним інтегралом першого роду, якщо ця границя існує і не залежить ні від способу розбиття дуги L на елементарні дуги, ні від вибору на них точок Mi.

Враховуючи формулу обчислення дуги кривої, цей інтеграл можна обчислити за такою формулою:

Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru

В тривимірному випадку для ф-ії u=f(x;y;z), коли дуга кривої L задана параметричними рівняннями x=x(t), y=y(t), z=z(t), a £ t £ b. Формула має вигляд:

Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru Зауваження: Криволінійний інтеграл першого роду не залежить від напряму шляху інтегрування.

Криволінійний інтеграл першого роду

Якщо P(x;y) та Q(x;y) – неперервні ф-ії, а y=j(x) – рівняння дуги гладкої кривої L, яка пробігається при зміні х від а до b, то криволінійний інтеграл другого роду має такий вигляд:

Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru Криволінійний інтеграл другого роду змінює свій знак на протилежний при зміні напряму шляху інтегрування (тобто обходу дуги кривої L).

Криволінійний інтеграл другого роду можна розглядати як інтеграл від вектор-функції Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru по диференціалу радіус-вектора Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru дуги кривої лінії L, тобто:

Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru

ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ

Основні поняття

1. Множини точок на площині та в n-вимірному просторі.

Множина точок називається зв'язною, якзо будь-які її дві точки можна з'єднати ламаною лінією так, щоб всі точки цієї лінії належали цій множині.

Множина точок називається обмеженою, якщо її точки належать множині точок круга скінченного радіуса.

Множина точок, координати яких задовольняють нерівність (x1-x10)2+(x2-x20)2+…+(xn-xn0)2<d2 називається d-околом точки P0(x10, x20,…, xn0).

Зауваження: у випадку двовимірного простору цю нерівність можна представити у вигляді: (х-х0)2+(у-у0)2<d2.

Точка внутрішня для множини точок, якщо вона належить цій множині разом з деяким своїм d-околом і зовнішня, якщо існує її окіл з точок, жодна з яких на належить цій множині.

Зв’язна множина, яка складається тільки з внутрішніх точок, називається відкритою областю (або просто областю).

Точка наз. межовою для області якщо в будь-якому її d-околі знайдуться точки, що не належать області. Множина межових точок наз. межею області.

Область об’єднана зі своєю межею називається замкненою областю.

Множина опукла, якщо будь-які точки множини можна зв’язати відрізком.

2. Означення ф-ії багатьох змінних

Якщо кожній точці Р(х1, х2,..., хn) множини D n-вимірного простору поставлено у відповідність з деяким законом одне і тільки одне число z Î E Ì R, то кажуть, що в області D Ì Rn задано функцію n незалежних змінних z=f(x1, x2,…, xn). При цьому D називають областю ф-ії, Е- областю значень ф-ії.

3. Способи завдання ф-ії

Ф-ію двох змінних можна зобразити:

- аналітично (у вигляді формули)

- таблично (у вигляді таблиці)

- графічно

Лінією рівня наз. множина всіх точок площини, в яких ф-ія z=f(x;y) набуває однакових значень.

Рівняння ліній рівня записують у вигляді f(x;y)=C.

4. Границя ф-ії двох змінних

Число В називається границею ф-ії z=f(x;y) при хàx0, yày0, якщо для будь-якого e>0 існує число d>0 таке, що при виконанні нерівності 0<(x-x0)2+(y-y0)2<d2 виконується нерівність |f(x;y)-B|<e і позначається:

Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru

Зауваження: Для ф-ії багатьох змінних справедливі теореми про границю суми, добутку чи частки, які аналогічні відповідним теоремам для ф-ії однієї незалежної змінної.

5. Неперервність ф-ії двох змінних

Ф-ія z=f(x;y) називається неперервною в точці P0(x0;y0), якщо Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru

Ф-ія називається неперервною в області (замкненій чи відкритій), якщо вона неперервна в кожній точці цієї області.

Теорема: Нехай на множині D визначена складна ф-ія z=f(x;y), де x=x(u;v), y=y(u;v) і нехай ф-ії x=x(u;v), y=y(u;v) неперервні в точці (u0;v0), а ф-ія f(x;y) неперервна в точці (х00), де x0=x(u0;v0), y0=y(u0;v0). Тоді складна ф-ія z=f(x(u;v);y(u;v)) неперервна в точці (u0;v0).

6. Властивості неперервної ф-ії двох змінних

Теорема. Якщо ф-ія неперервна в точці, то вона обмежена деяким околом цієї точки.

Теорема. Якщо ф-ії f(x;y) та g(x;y) неперервні в точці (x0;y0), то в цій точці будуть неперервними f(x;y)±g(x;y), f(x;y)×g(x;y), f(x;y)/g(x;y) при g(x0;y0)¹0

Теорема. Якщо ф-ія неперервна на замкнутій множині, то вона обмежена на цій площині.

Теорема. Якщо ф-ія неперервна на замкнутій обмеженій множині, то серед її значень є як найменші, так і найбільші.

Теорема. (про нуль неперервної ф-ії): Нехай ф-ія неперервна на зв’язній множині D і приймає у двох точках А і В цієї множини значення різних знаків. тоді у множині D знайдеться така точка, що в ній ф-ія обертається в нуль.

Теорема. (про проміжне значення): Нехай ф-ія f(x;y) неперервна на зв'язаній множині D і у двох будь-яких точках А та В цієї множини вона приймає будь-яке значення m, яке лежить між f(A) і (B), тобто існує така точка cÎD, що f(c)=m.

ДИФЕРЕНЦІЙОВНІСТЬ Ф-ІЇ ДВОХ ЗМІННИХ

1. Частковий та повний прирости ф-ії двох змінних.

Різницею Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru називають повним приростом ф-ії Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru при переході від точки (х00) до точки Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru і позначають Dz. Різницю Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru називають Частковим приростом по х, а різницю Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru - частковим приростом по у.

Аналогічно визначаються прирости ф-ії більш ніж двох змінних.

2. Диференційовність ф-ії двох змінних

Ф-ія Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru називається диференційовною у точці (х00), якщо її повний приріст Dz можливо подати у вигляді: Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru , де А, В – числа, a, b – нескінченно малі при Dxà0, Dyà0.

Головна лінійна структура приросту ф-ії, тобто АDх+ВDу називається повним диференціалом ф-ії (першим диференціалом) f(x;y) в точці x0, y0 і позначається dz: Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru

Теорема: Якщо ф-ія z=f(x;y) диференційовна в точці (x0,y0), тоді існують границі:

Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru

Означення: Нехай ф-ія z=f(x;y) визначена в точці (х00) і в її деякому околу. Якщо існує Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru , то вона називається частинною похідною по х (по у) функції в точці (х00) і позначається Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru або Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru .

3. Достатня умова диференційовності ф-ії двох змінних у точці

Існування частинних похідних – необхідна, ала не достатня умова диференційовності ф-ії двох змінних в точці.

Теорема: Якщо ф-ія z=f(x;y) в деякому околу точки (х00) має неперервні частинні похідні, то вона диференційовна в точці (х00).

4. Диференціювання складної ф-ії

Теорема: Нехай на множині D визначена складна ф-ія z=f(u;v), де u=u(x;y), v=v(x;y) і нехай ф-ії u(x;y), v(x;y) мають у деякому околу точки (х00)ÎD неперервні частинні похідні, а ф-ія z=f(u;v) має неперервні частинні похідні в деякому околу точки (u0;v0), де u0=u(x0;y0), v0=v(x0;y0). Тоді складна ф-ія z=f(u(x,y);v(x,y)) диференційовна в точці (х00), причому

Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru

5. Похідна за напрямом. Градієнт

Означення: Нехай ф-ія z=f(x;y) визначесна в деякому околі точки P0=(x0;y0); l­ деякий промінь з початком в точці P0=(x0;y0); P=(x;y) – точка на цьому промені, яка належить околу, що розглядається, – околу точки P0=(x0;y0); Dl – довжина відрізка P0Р. Границя Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru , якщо вона існує, називається похідною ф-ії z=f(x;y) за напрямом Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru в точці Р0 і позначається Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru

В частинному випадку, Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru є похідна ф-ії z=f(x;y) за доданим напрямом осі Ох , а Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru – за напрямом осі Оу.

Похідна за напрямом Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru характеризує швидкість зміни ф-ії z=f(x;y) в точці P0=(x0;y0) за напрямом Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru .

Теорема: Якщо ф-ія z=f(x;y) має в точці P0=(x0;y0) неперервні частинні похідні, тоді в цій точці існує неперервна похідна Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru за будь-яким напрямом Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru причому Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru де Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru – значення частинний похідних в точці P0=(x0;y0).

Означення: Вектор з координатами Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru , який характеризує напрям максимального зростання ф-ії z=f(x;y) в точці P0=(x0;y0)

6. Частинні похідні і повні диференціали вищих порядків

Означення: Диференціалом другого порядку від ф-ії z=f(x;y) називається диференціал від її повного диференціалу, тобто d2z=d(dz). Аналогічно визначають диференціали третього і вищого порядків.

Теорема: Якщо ф-ія z=f(x;y) визначена в області D, в цій області існують перші похідні Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru і Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru , другі змішані похідні Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru і Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru і похідні і Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru як ф-ії від х і у неперервні в точці (х00), тоді в цій точці Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru

7. Похідна неявної ф-ії

Якщо існує неперервна ф-ія однієї змінної y=f(x) така, що відповідні пари (x;y) задовольняють умову F(x;y), тоді ця цмова називається неявною формою ф-ії f(x), сама ф-ія f(x) називається неявною ф-ією, яка задовольняє умову F(x;y)=0.

Припустимо, що неперервна ф-ія y=f(x) задана в неявній формі F(x;y)=0 і що Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru . Похідна Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru знаходиться за формулою:

Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru

Аналогічно частинні похідні ф-ії двох незалежних змінних z=f(x;y), яка задана за допомогою рівняння F(x;y;z)=0 де F(x;y;z) – диференційовна ф-ія змінних x,y,z, можуть бути обчислені за формулами:

Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru за умови, що Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru

8. Формула Тейлора для ф-ії двох змінних

Розглянемо ф-ію двох змінних z=f(x;y). Припустимо, що в околу заданої точки (x0;y0) ця ф-ія має неперервні похідні всіх порядків, до n+1 включно. Надамо x0 і y0 деякі прирости Dx і Dy так, щоб прямолінійний відрізок, який з’єднує точки (x0;y0) і (x0+Dx;y0+Dy), не вийшов за межі околу, що розглядається. Тоді формула Тейлора: Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru

___

ДЩСЛІДЖЕННЯ Ф-ІЇ ДВОХ ЗМІННИХ

1. Екстремум ф-ії двох змінних

Означення: Нехай ф-ія z=f(x;y) визначена в деякому околі точки (x0;y0) і неперервна в цій точці. Якщо для всіх точок (x;y) цього околу виконується нерівність Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru , тоді ця точка (x0;y0) називається точкою максимуму (мінімуму) ф-ії z=f(x;y).

Точки максимуму і мінімуму наз. точками екстремуму.

Теорема (необхідна умова екстремуму): Якщо ф-ія z=f(x;y) має екстремум в точці (x0;y0), тоді в цій точці частинні похідні Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru і Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru або дорівнюють нулю, або хоча б одна з них не існує.

Теорема (достатня умова екстремуму): Нехай ф-ія має екстремум у точці (x0;y0), неперервні частинні похідні першого і другого порядку, причому Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru та Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru а також Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru . Якщо:

1) AC-B2>0 і A<0 тоді (x0;y0) точка максимуму

2) AC-B2>0 і A>0 тоді точка мінімуму

3) AC-B2<0 екстремуму немає

4) AC-B2=0

2. Умовний екстремум для ф-ії двох змінних

Нехай на відкритій множині D Ì R2 задано ф-ії u=f(x;y), v=j(x;y) і Е – множина точок, що задовольняють рівняння: Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru

Означення: Рівняння Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru називають рівнянням зв’язку, точку (x0;y0)ÎЕ називають точкою умовного строгого максимуму ф-ії u=f(x;y) при обмеженнях рівняння.

Точки умовного максимуму та мінімуму називають точками умовного екстремуму. Умовний екстремум інколи називають відносним екстремумом.

Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення)

Якщо рівняння зв’язку j(x;y)=0 можна розв’язати відносно змінної y, наприклад, y=j1(x), тоді дослідження ф-ії y=f(x;y) на умовний екстремум зводиться до дослідження на звичайний (безумовний) екстремум ф-ії однієї змінної: Прямий метод знаходження точок умовного екстремуму (метод виключення) - student2.ru

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ

1. Вводні означення

Означення: Дифуром називається рівняння, яку містить шукану похідну ф-ії. Найбільший порядок похідних називається порядком диф.рівняння.

Наши рекомендации