Обернена матриця

Поняття оберненої матриці розглянемо на прикладі квадратної матриці третього порядку, яке по аналогії можна буде узагальнити для матриць довільного порядку. Нехай

Обернена матриця - student2.ru .

Означення 1. Матриця Обернена матриця - student2.ru називається неособливою (невиродженою), якщо її визначник відмінний від нуля, тобто Обернена матриця - student2.ru .

Якщо ж Обернена матриця - student2.ru , то матриця називається особливою (виродженою).

Означення 2. Квадратна матриця Обернена матриця - student2.ru називається оберненою до матри ці Обернена матриця - student2.ru , якщо виконується рівність

Обернена матриця - student2.ru (1)

тобто добуток цих матриць дорівнює одиничній матриці Обернена матриця - student2.ru .

Теорема. Якщо матриця Обернена матриця - student2.ru - неособлива ( Обернена матриця - student2.ru ), то ця умова є необхідною і достатньою для існування оберненої матриці Обернена матриця - student2.ru .

Доведемо необхідність. Нехай матриця Обернена матриця - student2.ru має обернену Обернена матриця - student2.ru , тобто Обернена матриця - student2.ru . За теоремою про визначник добутку двох матриць маємо

Обернена матриця - student2.ru , бо Обернена матриця - student2.ru . (2)

Тому рівність (2) можлива тільки тоді, коли Обернена матриця - student2.ru і Обернена матриця - student2.ru .

Достатність.Нехай визначник матриці Обернена матриця - student2.ru відмінний від нуля, тобто Обернена матриця - student2.ru . Скорочено позначимо Обернена матриця - student2.ru . Покажемо, як знайти обернену матрицю.

Для кожного з елементів Обернена матриця - student2.ru матриці Обернена матриця - student2.ru знайдемо відповідні їм алгебраїчні доповнення Обернена матриця - student2.ru : Обернена матриця - student2.ru , розмістивши їх у вигляді нової матриці Обернена матриця - student2.ru відповідно розташуванню елементів Обернена матриця - student2.ru в Обернена матриця - student2.ru . Отримаємо

Обернена матриця - student2.ru (3)

(див., розв’язаний в 1.5 приклад, де отримано матрицю із алгебраїчних доповнень разом з перевіркою вірності їх значень). Протранспонуємо матрицю Обернена матриця - student2.ru , замінивши рядки стовпцями, отримаємо формулу оберненої матриці

Обернена матриця - student2.ru . (4)

За допомогою теорем про розклад та анулювання для визначників третього порядку неважко перевірити, що Обернена матриця - student2.ru .

Приклад 1. Знайти обернену матрицю до матриці

Обернена матриця - student2.ru .

Наши рекомендации