Принцип наложения, метод наложения

Используя метод контурных токов, можно получить обобщенное уравнение по расчету любого i-го контурного тока. Сомножитель перед имеет размерность Ом ^{– 1}, то есть уравнение будет иметь следующий вид:

.85

В общем случае это уравнение применимо для любого i-го контурного тока, однако, оно справедливо и для любого реального тока в ветви, так как всегда можно систему независимых контуров выбрать так, чтобы ток ветви численно равнялся контурному току. Если в уравнении (2.8) учесть, что контурная ЭДС есть сумма всех ЭДС контура, то, перегруппировав слагаемые таким образом, чтобы каждая ЭДС умножалась на соответствующую сумму слагаемых вида , получим уравнение для тока ветви.

(3.11)

В правой части уравнения (3.11) имеем сумму слагаемых – токов, созданных каждой из ЭДС ветви в отдельности.

Принцип наложения: ток любой i-ой ветви равен алгебраической сумме токов, созданных каждой из ЭДС цепи в отдельности.

Рис.3.3. Иллюстрация принципа наложения

На сформулированном принципе базируется метод наложения, суть которого состоит в следующем: в исходной электрической цепи поочередно закорачиваются все источники ЭДС, кроме одного и производится расчет частичных токов в ветвях любым из известных методов.

Для определения реальных токов в исходной цепи производится алгебраическое суммирование этих частичных токов:

;

;

.

Входные и взаимные проводимости

Пусть дана некоторая электрическая цепь, содержащая единственный источник ЭДС в k-ой ветви. Кроме того, выделим еще одну ветвь – m-ю, а всю оставшуюся часть электрической цепи представим в виде некоторого пассивного четырехполюсника (рис.3.4).

Рис.3.4. Схема пассивного четырехполюсника

Определим k-й и m-й токи. Используя уравнение (3.11), запишем выражение для k-го и m-го токов:

;

.

Если E_k = 1В, то ; ;

k-й и m-й токи численно равны своим проводимостям, при условии, что E_k = 1В. Y_kk – входная проводимость k – ой ветви. Y_kn – взаимная проводимость k – ой и m - ой ветви. Рассмотрим пример определения входных и взаимных проводимостей (рис.3.5).

Рис.3.5. Схема замещения пассивного четырехполюсника

Представим пассивный четырехполюсник в виде схемы рис.3.5 и составим для нее уравнения по методу контурных токов.

;

;

;

;

;

.

Свойство взаимности

Рассмотрим еще одно важное свойство, имеющее место в сложных цепях, присущее линейным электрическим цепям, базирующееся на понятиях входных и взаимных проводимостей.

Рис.3.6. Схемы, иллюстрирующие принцип взаимности

;

.

Докажем, что взаимные проводимости Y_kk и Y_kn равны. Пусть для некоторой многоконтурной схемы составлена система уравнений по методу контурных токов, и главный определитель системы имеет вид:

Этот определитель всегда симметричен относительно первой главной диагонали, проходящей через элементы Z₁₁ – Z_nn, т.к. любой элемент Z_km=Z_mk (сопротивления, расположенные на границе k-ого и m-ого контуров). У такого определителя строка m не отличается от столбца k и поэтому алгебраические дополнения, полученные вычеркиванием k-ой строки и m-ого столбца и наоборот, равны, следовательно:

. 86(3.12)

Пусть и Þ ;

Свойство взаимности: если ЭДС k-ой ветви вызывает в m-ой ветви ток I_m, то, будучи перенесенным в m-ю ветвь, этот же источник вызовет ток той же амплитуды и фазы в k-ой ветви.

Цепи, обладающие такими свойствами, носят название обратимых цепей. Все линейные цепи обратимы.

3.8. Преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду и обратное
преобразование

При расчете разветвленных цепей и, особенно, при определении их входных сопротивлений может возникнуть вопрос о преобразовании треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду или обратного преобразования. Такая процедура становится возможной при условии неизменности потенциалов на зажимах преобразуемого участка цепи.

Рассмотрим участок цепи, соединенный треугольником (рис.3.7).

Составим уравнения по первому и второму законам Кирхгофа для «треугольника».

Рис.3.7. Взаимное преобразование «треугольника» в «звезду»

По первому закону Кирхгофа:

«1 узел»: ;

«2 узел»: .

По второму закону Кирхгофа:

.

Решим эту систему уравнений, например, относительно тока :

Определим напряжение :

в схеме «треугольник»:

;

в схеме «звезда»:

Причем, должно выполняться такое равенство: . Приравнивая эти выражения, получим формулы перехода от соединения сопротивлений «треугольником» к сопротивлениям «звезды»:

.87(3.13)

Покажем на примере применимость данного преобразования.

Рис.3.8. Преобразование «треугольника»
сопротивлений в «звезду»

Рис.3.9. Преобразование «звезды»
сопротивлений в «треугольник»

Обратное преобразование - из «звезды» в «треугольник» выполняется по формуле перехода:

88(3.14)