Розділ 4. аналітична геометрія у просторі
Площина у просторі
Площина у просторі задається рівнянням першого порядку. Будь-яке лінійне рівняння зі змінними 
можна розглядати як рівняння у декартових координатах площини у просторі. Існують різні форми рівняння площини:
1. Рівняння площини, що проходить через задану точку 
та перпендикулярно вектору 
:
 . | (4.1) |
2. Загальне рівняння площини:
 . | (4.2) |
Якщо у рівнянні (4.2) відсутній доданок з якою-небудь змінною, то площина паралельна відповідній координатній осі.
Якщо у рівнянні (4.2) відсутні додатки з двома змінними, то площина паралельна відповідній координатній площині.
Якщо у загальному рівнянні площини відсутній вільний член, тобто рівняння має вигляд 
, то площина проходить через початок координат.
3. Рівняння площини, яка проходить через три задані точки 
, 
та 
:
 . | (4.3) |
4. Рівняння площини у відрізках на осях:
 , | (4.4) |
де 
– координати точок перетину площини з осями 
відповідно.
5. Нормальне рівняння площини:
 , | (4.5) |
де 
– відстань від початку координат до площини; 
- кути, які створює нормаль проведена з початку координат з осями .
6. Відстань від точки 
до площини, заданої рівнянням виду (4.2):
 . | (4.6) |
Умовою паралельності двох площин є колінеарність їх нормалей 
 . | (4.7) |
Умовою перпендикулярності двох площин є перпендикулярність їх нормалей 
 . | (4.8) |
Кут між площинами дорівнює гострому куту між їх нормалями 
та 
 . | (4.9) |
Пряма у просторі
Пряму у просторі можна розглядати як лінію перетину двох площин; лінію, будь-які точки якої задають вектор, колінеарний заданому, або траєкторію руху зі сталою швидкістю заданої точки. Різні форми рівнянь прямої у просторі:
1. Загальне рівняння прямої, яка задається як лінія перетину двох площин з нормалями 
та 
  . | (4.10) |
2. Канонічне та параметричне рівняння прямої
 , | (4.11) |
 . | (4.12) |
Пряма, що задана рівняннями виду (4.11) або (4.12), проходить через задану точку з напрямним вектором 
, який паралельний даній прямій.
3. Рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки та
 . | (4.13) |
Кут між двома прямими – це гострий кут, який створено напрямними векторами цих прямих
 . | (4.14) |
Умовою паралельності двох прямих є колінеарність їх напрямних векторів 
 . | (4.15) |
Умовою перпендикулярності двох прямих є перпендикулярність їх напрямних векторів 
 . | (4.16) |
Гострий кут 
, який створений нормаллю до площини, заданої рівняння , та напрямним вектором прямої, доповнює кут 
між прямою та площиною до 900
 . | (4.17) |
Умовою перпендикулярності прямої та площини є колінеарність нормалі до площини та напрямного вектора прямої 
 . | (4.18) |
Умовою паралельності прямої та площини є перпендикулярність нормалі до площини та напрямного вектора прямої 
:
 . | (4.19) |
Індивідуальне завдання за темою „Аналітична геометрія у просторі”
Завдання І.Дано рівняння площини. Знайти:
1) нормальний вектор площини;
2) записати рівняння площини у відрізках;
3) записати рівняння площини в нормальному вигляді;
4) перевірити, чи лежить точка М на площині;
5) побудувати площину.
| Варіант 1 |  |  (0; 1; -2) |
| Варіант 2 |  | (2; 1; 2) |
| Варіант 3 |  | (1; 1; 0) |
| Варіант 4 |  | (-2; 4; 1) |
| Варіант 5 |  | (0; 0; 2) |
| Варіант 6 |  | (1; 2; 3) |
| Варіант 7 |  | (1; 1; -1) |
| Варіант 8 |  | (3; 2; 1) |
| Варіант 9 |  | (2; 1; 1) |
| Варіант 10 |  | (1; 3; 1) |
| Варіант 11 |  | (1; 5; -1) |
| Варіант 12 |  | (2; 1; 1) |
| Варіант 13 |  | (1; -1; 2) |
| Варіант 14 |  | (1; 0; 2) |
| Варіант 15 |  | (1; 3; 2) |
| Варіант 16 |  | (1; 2; 2) |
| Варіант 17 |  | (2; 1; 2) |
| Варіант 18 |  | (0; 3; 1) |
| Варіант 19 |  | (1; -1; 1) |
| Варіант 20 |  | (0; 0; -5) |
| Варіант 21 |  | (5; 3; 1) |
| Варіант 22 |  | (0; 5; -2) |
| Варіант 23 |  | (5; 3; 0) |
| Варіант 24 |  | (1; 1; 1) |
| Варіант 25 |  | (1; 0; -1) |
| Варіант 26 |  | (0; 0; 1) |
| Варіант 27 |  | (0; 0; -1) |
| Варіант 28 |  | (4; 1; -1) |
| Варіант 29 |  | (0; 2; 2) |
| Варіант 30 |  | (1; -1; -1) |
Завдання ІІ.Знайти рівняння площини, що проходить через точки 
і відстань від точки 
до цієї площини.
| Варіант 1 |  (1; 1; -1) |  (2; 3; 1) |  (3; 2; 1) | (-3; -7; 6) |
| Варіант 2 | (1; 5; -7) | (-3; 6; 3) | (-2; 7; 3) | (1; -1; 2) |
| Варіант 3 | (2; 3; 1) | (4; 1; -2) | (6; 3; 7) | (-5; -4; 8) |
| Варіант 4 | (1; 1; 2) | (-1; 1; 3) | (2; -2; 4) | (2; 3; 8) |
| Варіант 5 | (2; -1; 2) | (1; 2; -1) | (5; 2; 6) | (-13;-8;-16) |
| Варіант 6 | (14; 4; 5) | (-5; -3; 2) | (-2; -6; -3) | (-1; -8; 7) |
| Варіант 7 | (-2; 0; -4) | (-1; 7; 1) | (4; -8; -4) | (-6; 5; 5) |
| Варіант 8 | (2; -1; -2) | (1; 2; 1) | (5; 0; -6) | (14; -3; 7) |
| Варіант 9 | (5; 2; 0) | (2; 5; 0) | (1; 2; 4) | (-3; -6; -8) |
| Варіант 10 | (0; -1; -1) | (-2; 3; 5) | (1; -5; -9) | (-4; -13; 6) |
| Варіант 11 | (-1; -5; 2) | (-6; 0; -3) | (3; 6; -3) | (10; -8; -7) |
| Варіант 12 | (-3; 4; -7) | (1; 5; -4) | (-5; -2; 0) | (-12; 7; -1) |
| Варіант 13 | (-1; 2; -3) | (4; -1; 0) | (2; 1; -6) | (1; -6; -5) |
| Варіант 14 | (-3; -1; 1) | (-9; 1; -2) | (3; -5; 4;) | (-7; 0; -1) |
| Варіант 15 | (1; -1; 1) | (-2; 0; 3) | (2; 1; -1) | (-2; 4; 2) |
| Варіант 16 | (1; 2; 0) | (1; -1; 2) | (0; 1; -1) | (2; -1; 4) |
| Варіант 17 | (1; 0; 2) | (1; 2; -1) | (2; -2; 1) | (-5; -9; 1) |
| Варіант 18 | (1; 0; 1) | (-2; -1; 6) | (1; 2; -3) | (3; -2; 9) |
| Варіант 19 | (-2; 3; -5) | (-6; 0; -3) | (3; 10; -1) | (-6; 7; -10) |
| Варіант 20 | (-1; -2; -4) | (-1; 2; 4) | (3; 0; -1) | (-2; 3; 5) |
| Варіант 21 | (-4; 1; 2) | (0; -3; 1) | (2; -1; 5) | (-3; 4; 5) |
| Варіант 22 | (-4; 1; 2) | (0; -3; 1) | (2; -1; 5) | (-3; 4; 5) |
| Варіант 23 | (0; 3; 2) | (-2; -1; -1) | (3; 1; -4) | (-11; 10; 6) |
| Варіант 24 | (-3; -5; 6;) | (2; 1; -4) | (0; -3; -1) | (3; 6; 8) |
| Варіант 25 | (2; -4; -3) | (5; -6; 0) | (-1; 3; -3) | (2; -10; 8) |
| Варіант 26 | (1; -1; 2) | (2; 1; 2) | (1; 1; 4) | (-3; 2; 7) |
| Варіант 27 | (1; 3; 6) | (2; 2; 1) | (-1; 0; 1) | (5; -4; 5) |
| Варіант 28 | (-4; 2; 6) | (2; -3; 0) | (-1; 5; 8) | (-12; 1; 8) |
| Варіант 29 | (2; 1; 4) | (7; 5; -2) | (-7; -3; 2) | (-3; 1;8) |
| Варіант 30 | (7; -1; 2) | (7; 2; 4) | (-5; -2; -1) | (10; 1;8) |
Завдання ІІІ.Скласти рівняння прямої, що проходить через точку 
паралельно вектору 
. Записати рівняння у канонічному та параметричному виді.
| Варіант 1 | A (1; 0; -2) | B (2; -1; 3) | C (0; -3; 2) |
| Варіант 2 | A (-1; 3; 4) | B (-1; 5; 0) | C (2; 6; 1) |
| Варіант 3 | A (4; -2; 0) | B (1; -1; -5) | C (-2; 1; -3) |
| Варіант 4 | A (-8; 0; 7) | B (-3; 2; 4) | C (-1; 4; 5) |
| Варіант 5 | A (7; -5; 1) | B (5; -1; -3) | C (3; 0; -4) |
| Варіант 6 | A (-3; 5; -2) | B (-4; 0; 3) | C (-3; 2; 5) |
| Варіант 7 | A (1; -1; 8) | B (-4; -3; 10) | C (-1; -1; 7) |
| Варіант 8 | A (-2; 0; -5) | B (2; 7; -3) | C (1; 10; -1) |
| Варіант 9 | A (1; 9; -4) | B (5; 7; 11) | C (3; 5; 0) |
| Варіант 10 | A (-7; 0; 3) | B (1; -5; -4) | C (2; -3; 0) |
| Варіант 11 | A (0; -3; 5) | B (-7; 2; 6) | C (-3; 2; 4) |
| Варіант 12 | A (5; -1; 2) | B (2; -4; 3) | C (4; -1; 3) |
| Варіант 13 | A (-2; 0; -5) | B (2; 7; -3) | C (1; 10; -1) |
| Варіант 14 | A (0; -2; 8) | B (4; 3; 2) | C (1; 4; 3) |
| Варіант 15 | A (1; -2; 5) | B (0; 7; 8) | C (-1; 3; 8) |
| Варіант 16 | A (-10; 0; 9) | B (12; 4; 11) | C (8; 5; 15) |
| Варіант 17 | A (3; -3; -6) | B (1; 9; -5) | C (6; 6; -4) |
| Варіант 18 | A (2; 1; 7) | B (9; 0; 2) | C (9; 2; 3) |
| Варіант 19 | A (-7; 1; -4) | B (8; 11; -3) | C (9; 9; -1) |
| Варіант 20 | A (-7; 2; 1) | B (1; 0; -6) | C (-9; 6; 1) |
| Варіант 21 | A (-3; 1; 0) | B (6; 3; 3) | C (9; 4; -2) |
| Варіант 22 | A (-4; -4; 5) | B (3; -3; -7) | C (9; 3; -7) |
| Варіант 23 | A (0; -8; 10) | B (-5; 5; 7) | C (-9; 0; 4) |
| Варіант 24 | A (1; -5; -2) | B (6; -2; 1) | C (2; -2; -2) |
| Варіант 25 | A (0; 7; 9) | B (-1; 8; -11) | C (-4; 3; -12) |
| Варіант 26 | A (-3; -1; 7) | B (0; 2; -6) | C (2; 3; -5) |
| Варіант 27 | A (5; 3; -1) | B (0; 0; -3) | C (5; -1; 0) |
| Варіант 28 | A (-1; 2; -2) | B (13; 14; 1) | C (14; 15; 2) |
| Варіант 29 | A (7; -5; 0) | B (8; 3; -1) | C (8; 5; 1) |
| Варіант 30 | A (-3; 6; 4) | B (8; -3; 5) | C (10; -3; 7) |
Завдання ІV.Записати рівняння прямої загального виду в канонічному та параметричному виглядах.
Варіант 1  | Варіант 2  | Варіант 3  |
Варіант 4  | Варіант 5  | Варіант 6  |
Варіант 7  | Варіант 8  | Варіант 9  |
Варіант 10  | Варіант 11  | Варіант 12  |
Варіант 13  | Варіант 14  | Варіант 15  |
Варіант 16  | Варіант 17  | Варіант 18  |
Варіант 19  | Варіант 20  | Варіант 21  |
Варіант 22  | Варіант 23  | Варіант 24  |
Варіант 25  | Варіант 26  | Варіант 27  |
Варіант 28  | Варіант 29  | Варіант 30  |
ЗМІСТ
| Вступ ………………………………………………………………………. | |
| Розділ 1. Лінійна алгебра ……………………………………………... | |
| 1.1 Матриці та дії над ними ………………………………………………… | |
| 1.2 Означення та основні властивості визначників ………………………. | |
| 1.3 Системи лінійних алгебраїчних рівнянь ………………………………. | |
| Індивідуальне завдання за темою „Лінійна алгебра” ……………………... | |
| Розділ 2. Векторна алгебра …………………………………………... | |
| 2.1 Поняття вектора та лінійні операції над векторами …………………... | |
| 2.2 Вектори у декартовій системі координат ……………………………… | |
| 2.3 Скалярний добуток векторів …………………………………………… | |
| 2.4 Векторний добуток векторів …………………………………………… | |
| 2.5 Змішаний добуток векторів …………………………………………….. | |
| Індивідуальне завдання за темою „Векторна алгебра” …………………… | |
| Розділ 3. аналітична геометрія на площині ………………….. | |
| 3.1 Пряма лінія на площині ………………………………………………… | |
| 3.2 Криві другого порядку: коло, еліпс, гіпербола та парабола ………….. | |
| Індивідуальне завдання за темою „Аналітична геометрія на площині” … | |
| Розділ 4. аналітична геометрія у просторі ……………………. | |
| 4.1 Площина у просторі …………………………………………………….. | |
| 4.2 Пряма у просторі ………………………………………………………... | |
| Індивідуальне завдання за темою „Аналітична геометрія у просторі” ….. |