Геометрический смысл полного дифференциала

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Геометрический смысл полного дифференциала - student2.ru нормаль

N

j N0

касательная плоскость

Пусть N и N0 – точки данной поверхности. Проведем прямую NN0. Плоскость, которая проходит через точку N0, называется касательной плоскостью к поверхности, если угол между секущей NN0 и этой плоскостью стремится к нулю, когда стремится к нулю расстояние NN0.

Определение. Нормальюк поверхности в точке N0 называется прямая, проходящая через точку N0 перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности.

В какой – либо точке поверхность имеет, либо только одну касательную плоскость, либо не имеет ее вовсе.

Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), где f(x, y) – функция, дифференцируемая в точке М00, у0), касательная плоскость в точке N0(x0,y0,(x0,y0)) существует и имеет уравнение:

Геометрический смысл полного дифференциала - student2.ru .

Уравнение нормали к поверхности в этой точке:

Геометрический смысл полного дифференциала - student2.ru

Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f(x, y) в точке (х0, у0) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х0, у0) к точке (х0+Dх, у0+Dу).

Как видно, геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной.

Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

Геометрический смысл полного дифференциала - student2.ru

в точке М(1, 1, 1).

Геометрический смысл полного дифференциала - student2.ru

Геометрический смысл полного дифференциала - student2.ru

Уравнение касательной плоскости:

Геометрический смысл полного дифференциала - student2.ru

Уравнение нормали:

Геометрический смысл полного дифференциала - student2.ru

Наши рекомендации