Обобщение формулы конечных приращений

Теорема Коши. Пусть функции и удовлетворяют условиям: 1) непрерывны на ; 2) дифференцируемы на ; 3) на . Тогда существует точка такая, что справедлива формула:

. (1)

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию . Она непрерывна на и дифференцируема на . Подберем l так, чтобы :

. (2)

С таким l эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля, следовательно : . Но , значит и

.

Сравнивая эту формулу с (2), получим (1).

Замечание 1. Знаменатель левой части формулы (1) отличен от нуля. В противном случае к функции можно было бы применить теорему Ролля и внутри получить точку, в которой , что противоречит условию теоремы Коши.

Замечание 2. Может показаться, что теорема Коши не содержит ничего нового: ведь к каждой из функций и можно применить формулу конечных приращений (2) из §2. Однако, теорема Лагранжа не гарантирует, что точка одна и та же для различных функций.