Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения

При нарушении гомоскедастичности и наличии автокорреляции ошибок рекомендуется традиционный метод наименьших квадратов (известный в английской терминологии как метод OLS – Ordinary Least Squares) заменять обобщенным методом, т.е. методом GLS (Generalized Least Squares). Обобщенный метод наименьших квадратов применяется к преобразованным данным и позволяет получать оценки, которые обладают не только свойством несмещенности, но и имеют меньшие выборочные дисперсии. Остановимся на использовании ОМНК для корректировки гетероскедастичности. Как и раньше, будем предполагать, что среднее значение остаточных величин равно нулю. А вот дисперсия их не остается неизменной для разных значений фактора, а пропорциональна величине Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru , т.е.

Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru ,

где Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru – дисперсия ошибки при конкретном Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru -м значении фактора; Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru – постоянная дисперсия ошибки при соблюдении предпосылки о гомоскедастичности остатков; Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru – коэффициент пропорциональности, меняющийся с изменением величины фактора, что и обусловливает неоднородность дисперсии.

При этом предполагается, что Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru неизвестна, а в отношении величин Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru выдвигаются определенные гипотезы, характеризующие структуру гетероскедастичности.

В общем виде для уравнения Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru при Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru модель примет вид: Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru . В ней остаточные величины гетероскедастичны. Предполагая в них отсутствие автокорреляции, можно перейти к уравнению с гомоскедастичными остатками, поделив все переменные, зафиксированные в ходе Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru -го наблюдения, на Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru . Тогда дисперсия остатков будет величиной постоянной, т. е. Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru .

Иными словами, от регрессии Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru по Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru мы перейдем к регрессии на новых переменных: Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru и Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru . Уравнение регрессии примет вид:

Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru ,

а исходные данные для данного уравнения будут иметь вид:

Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru , Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru .

По отношению к обычной регрессии уравнение с новыми, преобразованными переменными представляет собой взвешенную регрессию, в которой переменные Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru и Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru взяты с весами Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru .

Оценка параметров нового уравнения с преобразованными переменными приводит к взвешенному методу наименьших квадратов, для которого необходимо минимизировать сумму квадратов отклонений вида

Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru .

Соответственно получим следующую систему нормальных уравнений:

Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru

Если преобразованные переменные Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru и Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru взять в отклонениях от средних уровней, то коэффициент регрессии Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru можно определить как

Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru .

При обычном применении метода наименьших квадратов к уравнению линейной регрессии для переменных в отклонениях от средних уровней коэффициент регрессии Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru определяется по формуле:

Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru .

Как видим, при использовании обобщенного МНК с целью корректировки гетероскедастичности коэффициент регрессии Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru представляет собой взвешенную величину по отношению к обычному МНК с весом Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru .

Аналогичный подход возможен не только для уравнения парной, но и для множественной регрессии. Предположим, что рассматривается модель вида

Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru ,

для которой дисперсия остаточных величин оказалась пропорциональна Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru . Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru представляет собой коэффициент пропорциональности, принимающий различные значения для соответствующих Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru значений факторов Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru и Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru . Ввиду того, что

Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru ,

рассматриваемая модель примет вид

Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru ,

где ошибки гетероскедастичны. Для того чтобы получить уравнение, где остатки Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru гомоскедастичны, перейдем к новым преобразованным переменным, разделив все члены исходного уравнения на коэффициент пропорциональности Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru . Уравнение с преобразованными переменными составит

Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru .

Это уравнение не содержит свободного члена. Вместе с тем, найдя переменные в новом преобразованном виде и применяя обычный МНК к ним, получим иную спецификацию модели:

Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru .

Параметры такой модели зависят от концепции, принятой для коэффициента пропорциональности Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru . В эконометрических исследованиях довольно часто выдвигается гипотеза, что остатки Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru пропорциональны значениям фактора. Так, если в уравнении

Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru

предположить, что Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru , т.е. Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru и Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru , то обобщенный МНК предполагает оценку параметров следующего трансформированного уравнения:

Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru .

Применение в этом случае обобщенного МНК приводит к тому, что наблюдения с меньшими значениями преобразованных переменных Обобщенный метод наименьших квадратов: назначение, условия применения - student2.ru имеют при определении параметров регрессии относительно больший вес, чем с первоначальными переменными. Вместе с тем, следует иметь в виду, что новые преобразованные переменные получают новое экономическое содержание и их регрессия имеет иной смысл, чем регрессия по исходным данным.

Наши рекомендации