Независимость случайных величин

2 случайные величины X и Y называется независимыми , если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина.

В противном случае величины зависимы.

Несколько случаных величин называются взаимно-независимыми , если законы распределения любого числа из них не зависит от того , какие возможные значения приняли остальные величины.

Действия над случайными величинами.

Суммой (разностью или произведением ) случайных величин X и Y называется случайная величина , которая принимает все возможные значения вида Xi+Yi(Xi-Yi или Xi*Xj),где i= Независимость случайных величин - student2.ru ,j= Независимость случайных величин - student2.ru , С вероятностями Pij того , что случайная величина X примет значение xi , а Y – значение yi :

Pij =P[(X=xi)(Y=ui )]

Если случайные величины X и Y называемы , т.е. независимы любые события X=xi,Y=yj, то по теорема умножения вероятностей для независимых событий Pij=P(X=xi)P(Y=yj)=PiPj

Произведением с X случайной величины X на постоянное число C называется случайная величина, которая принимает значения Cxi с теми же вероятностями Pi,i= Независимость случайных величин - student2.ru

M – ой степенью X Независимость случайных величин - student2.ru случайной величины X называется случайная величина , которая принимает значения Xi Независимость случайных величин - student2.ru с теми же вероятностями Pi, I= Независимость случайных величин - student2.ru ЛЕКЦИЯ 21.05.02.

Функции от случайных величин.

Случайная величина У, ставящая в соответствие каждому значению х случайной величины Х по некоторому правилу или закону f одно определённое значение у, называется функцией У=f(Х) от случайной величины Х.

Числовые характеристики случайной величины- числа, которые описывают случайную величину суммарно.

Числовые характеристики дискретных случайных величин.

Математическое ожидание – сумма произведений всех возможных значений дискретной случайной величины на их вероятности.

М(Х)= Независимость случайных величин - student2.ru

Пример. Найти математическое ожидание случайной величины Х, зная её закон распределения

Х
Р 0,1 0,6 0,3

Решение. М(Х)= 3*0,1+ 5*0,6 + 2*0,3 = 0,3+ 3 +0,6= 3,9.

Вероятный смысл математического ожидания.

Математическое ожидание » (тем точнее, чем больше испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Свойства математического ожидания

1) М(С)= С, С= const.

2) M(CX)=CM(X).

3) Математическое ожидание алгебраической суммы двух случайных величин равно такой же сумме их математических ожиданий.

М(Х ± У)=М(Х) ± М(У)

Следствие Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно такой же сумме их математических ожиданий.

4) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

М(ХУ) = М(Х)М(У)

Следствие Математическое ожидание произведения конечного числа взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

n n

М(ΠХi) = ПМ(Хi)

I=1 i=1

Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях

Теорема. Математическое ожидание М(Х) числа появлений события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании: М(Х)=пр.

Определение. Отклонением (центрированной случайной величиной) называется разность между случайной величиной и её математическим ожиданием.

Теорема. Математическое ожидание отклонения равно 0 : М(Х-М(Х))=0

Дисперсия(рассеяние) случайной величины Х – математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания :

D(X)= s2=M(X – M(X))2=S(xi – M(xi))2Pi

Вероятностный смысл дисперсии- степень рассеяния (разброса) значений случайной величины вокруг её математического ожидания

Теорема Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом её математического ожидания:

D(X)=M(X2)-[M(X)]2


Пример 1Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана законом распределения,

Х
Р 0,1 0,6 0,3

Решение М(Х) = 2*0,1+3*0,6+5*0,3=0,2+1,5=3,5

1) D(x) =(2-3,5)2*0,1+(3-3,5)2*0,6+(5-3,5)2*0,3=2,25*0,1+0,25*0,6+2,25*0,3=2,25*0,4+0,15=0,9+0,15=1,05.

2) D(X)=22*0,1+32*0,6+52*0,3-(3,5)2=0,4+5, 4+7,5-12,25=13,3-12,25=1,05.

Пример 2 сравнить дисперсии случайных величин, заданных законами распределения

Х -1
Р 0,48 0,01 0,09 0,42
У -1
Р 0,19 0,51 0,25 0,05

М(X)=-0,48+0,01+0,18+1,26=1,45-0,48=0,97

M(Y)=-0,19+0,51+0,5+0,15=1,16-0,19=0,97

D(X)=0,48+0,01+0,36+3,78-0,972=4,63-0,9409»3,69

D(Y)=0,19+0,51+1+0,45-0,972=2,15-0,9409»1,21

Свойства дисперсии

1) D(C) =0, C=const

2) D(CX)=C2D(X)

3) Дисперсия алгебраической суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин

D(X± Y)=D(X)+D(Y)

Следствие1 Дисперсия алгебраической суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин

Следствие 2 D(C+X)=D(X), C=const

Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях

Теорема Дисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях , в каждом из которых вероятность Р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятность появления и непоявления события в одном испытании:

D(X)=npq.

-21-

Пример. Производятся 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 0,6. Найти дисперсию случайной величины X-числа появления событий в этих испытаниях.

Решение . n=10; p=0,6 Независимость случайных величин - student2.ru q=1- 0,6 =0,4 Независимость случайных величин - student2.ru D(X)=npq=10*0,6*0,4=2,4

Независимость случайных величин - student2.ru (СКО) случайной величины X- квадратный корень из дисперсии:

Независимость случайных величин - student2.ru (X)= Независимость случайных величин - student2.ru .

Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины X, а размерность Независимость случайных величин - student2.ru (X) совпадает с размерностью (X). Поэтому в тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность случайной величины, вычисляют СКО, а не дисперсию.

СКО алгебраической суммы взаимно независимых случайных величин.

Независимость случайных величин - student2.ru . СКО алгебраической суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов СКО этих величин:

Независимость случайных величин - student2.ru

Основные виды распределений дискретных случайных величин.

_1) Биномиальное – распределение вероятностей, определяемое формулой Независимость случайных величин - student2.ru Бернулли.

Биномиальный закон:

X n n-1 k
p Pn Npn-1q Независимость случайных величин - student2.ru Независимость случайных величин - student2.ru qn

M(X)=np ;D(X)= pqn ; Независимость случайных величин - student2.ru (X) = Независимость случайных величин - student2.ru

2) Пуассоновское – распределение Пуассона вероятностей массовых (n- велико) и редких (p- мала ) событий.

Pn(k)= Независимость случайных величин - student2.ru Независимость случайных величин - student2.ru / k! Независимость случайных величин - student2.ru

M(X)=D(X)= Независимость случайных величин - student2.ru Независимость случайных величин - student2.ru (X)= Независимость случайных величин - student2.ru

Наши рекомендации