II. Обращение нижней треугольной матрицы

Поступая так же, как и для обращения верхней треугольной матрицы, получаем формулы для определения элементов матрицы, которая обратна нижней треугольной матрице

В = II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru ;

II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru = II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru .

При i < j II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru (3.7)

(т.е. все элементы, находящиеся на главной диагонали, равны нулю).

При i = j II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru . (3.8)

По этой формуле находятся диагональные элементы.

При i > j II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru . (3.9)

По этой формуле определяются элементы, находящиеся ниже главной диагонали. Из приведенных формул видно, что обратная матрица для нижней треугольной является также нижней треугольной.

Пример применения формулы (3.9). Пусть требуется определить II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru (i = 5; j = 3; i > j).

II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru ;

II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru .

В скобки заключена алгебраическая сумма произведений элементов, начиная с первого, того столбца, в котором находится определяемый элемент, на соответствующие элементы той строки матрицы В (той матрицы, для которой ищется обратная), в которой стоит определяемый элемент. Среди произведений, стоящих в скобке, могут быть и равные нулю. Это будут те произведения, у которых множитель β имеет первый индекс меньше второго.

Задача 3.2 Найти матрицу, обратную нижней треугольной матрице

II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru = II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru .

Решение.Прежде всего по формуле (3.8) определяем диагональные элементы: II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru ; II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru ; II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru ; II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru .

Вписываем эти элементы в главную диагональ и вписываем нули на места над ней. Теперь следует определить элементы II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru ; II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru ; II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru ; II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru ; II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru ; II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru .

Эти элементы вычислим по формуле (3.9). Для удобства помещаем матрицу II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru под матрицей В.

II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru = II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru ;

II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru = II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru

II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru = II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru .

III. Разложение квадратной матрицы на произведение двух треугольных

Сведения из теории.

Многие методы решения системы линейных алгебраических уравнений основаны на представлении квадратной матрицы (не треугольной) в виде произведения двух треугольных матриц, из которых одна нижняя, а другая верхняя. Для любой квадратной матрицы

II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru

такое представление является возможным и единственным при соблюдении следующих условий:

1) диагональные элементы одной из треугольных матриц отличны от нуля;

2) главные диагональные миноры отличны от нуля (так называются миноры определителя матрицы, у которых на главных диагоналях стоят диагональные элементы матриц).

Такими минорами, например, будут:

II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru ; II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru ; II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru , . . .,

а также и сам определитель матрицы II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru .

Рассмотрим такое представление на примере квадратной матрицы четвертого порядка (n = 4). Пусть требуется матрицу

А= II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru

представить как произведение двух треугольных матриц (нижней и верхней)

С = II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru и В = II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru ,

т. е. предполагается, что имеется равенство

II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru = II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru · II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru   (3.10)

Задача заключается в определении элементов II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru (i ≥ j) и II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru (i ≤ j). Таких неизвестных элементов у нас 20, так как n2 + n = 16 + 4 = 20. Это следует из формулы для суммы членов арифметической прогрессии.

Перемножим матрицы в правой части равенства (3.10) по правилу умножения матриц и, пользуясь равенством

А = CB,

приравняем элементы матрицы СВ соответствующим элементам матрицы А.

Получим такие равенства:

II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru (1) (3.11)
II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru   (2)
II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru   (3)
II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru   (4)
II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru   (5)
II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru   (6)
II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru   (7)
II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru   (8)
II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru   (9)
II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru   (10)
II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru   (11)
II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru   (12)
II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru   (13)
II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru   (14)
II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru   (15)
II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru   (16)

Мы получили 16 уравнений для определения 20 неизвестных. Поэтому четырем неизвестным можно приписать любое значение, причем для этого имеется бесконечное множество возможностей.

Пользуясь произвольностью выбора значений четырех неизвестных, положим, что каждый из четырех диагональных элементов в первой матрице правой части (3.10) равен единице:

II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru ; II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru ; II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru ; II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru .

Тогда первые четыре уравнения в (3.11) позволят определить неизвестные элементы II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru , II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru , II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru , II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru , и окажется, что

II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru ; II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru ; II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru ; II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru . (3.12)

Из уравнений (5), (9) и (13) с учетом, что II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru , получаем:

II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru ; II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru ; II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru . (3.13)

Зная, что II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru , из уравнений (6), (7) и (8) находим

II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru ;

II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru ; (3.14)

II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru

Здесь символ суммирования II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru , собственно, ничего нового не дает. Мы его ввели для последующих обобщений – см. формулы (3.19) и (3.20).

Замечание. Как покажут дальнейшие вычисления, суммирование производится по индексу k, который изменяется от 1 до i – 1, где i – первый индекс у определяемого элемента. В данном случае у определяемых элементов II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru , II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru , II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru первый индекс i = 2.

Из уравнений (10) и (14) находим II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru и II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru :

II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru ; (3.15)
II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru .

В символе II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru индекс суммирования k изменяется от 1 до 1, т.е. фактически принимает только одно значение, равно 1, причем 1, стоящая сверху, есть 2 – 1, т.е. j – 1, где j – второй индекс у определяемых элементов II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru и II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru . Как уже было замечено выше, введение такого символа в этом месте ничего нового не дает, но необходимо для ссылок при последующем обобщении этих формул.

Из уравнений (11) и (12) определим элементы II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru и II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru (учитывая, что II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru

II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru ; (3.16)
II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru .

В этих формулах индекс суммирования k в символе II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru изменяется от 1 до 2, а стоящее сверху этого символа число 2 = 3 – 1, т.е. i – 1, где i – первый индекс у определяемых элементов с и II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru .

Теперь из уравнения (15) найдем

II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru . (3.17)

В символе II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru индекс суммирования k изменяется от 1 до 2, причем число 2, стоящее сверху, есть j – 1, где j – второй индекс у определяемого элемента II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru

Наконец, из уравнения (16), учитывая, что II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru , получаем

II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru . (3.18)

Обратим опять внимание на то, что в символе II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru индекс суммирования k изменяется от 1 до 3, причем число 3, стоящее сверху, есть 4 – 1, т.е. i – 1, где i – первый индекс у определяемого элемента II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru .

Заметим, что определение элементов II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru и II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru чередуется: по формулам (3.12) определяются элементы II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru (j = 1, 2, 3, 4) затем по формулам (3.13) – элементы II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru (j = 1, 2, 3, 4). После этого опять определяются элементы II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru (j = 2, 3, 4) по формулам (3.14), а вслед за этим по формулам (3.15) – элементы II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru (i = 3, 4), потом – опять элементы II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru (j = 3, 4) по формулам (3.16), а за ними – элементы II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru по формуле (3.17) и, наконец, определяется элемент II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru по формуле (3.18).

Если объединить формулы (3.14), (3.16), (3.18) в одну, то окажется, что

II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru ; (i ≤ j) (3.19)

(i = 2, 3, 4; j = 2, 3, 4),

а объединение формул (3.15) и (3.17) дает

II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru ; (i >j) (3.20)

(i = 3, 4; j = 2, 3).

Формулы (3.19) и (3.20) остаются верными для представления квадратных матриц любого порядка n в виде произведения двух треугольных матриц.

Покажем схематически последовательность, в которой определяются элементы II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru и II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru : сначала заполняются строки, а потом – столбцы (см. табл. 1)

II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru Таблица 1

Представление квадратной матрицы в виде произведения нижней и верхней треугольной матрицы производится так: для удобства вычислений записывается данная матрица А, а под ней – матрицы С и В, как указано в табл. 2, на следующей странице, причем вместо диагональных элементов матрицы С вписываются единицы.

Первая строка матрицы В и первый столбец матрицы С заполняются так, как указано в табл. 2 (см. след. стр.):

1. На основании формул (3.12) в первую строку вписываются соответствующие элементы матрицы А, а элементы первого столбца матрицы С равны соответствующим элементам первого столбца матрицы А, разделенным на его первый элемент – формулы (3.13).

2. Элементы, стоящие над ступенчатой линией, находятся по формуле (3.19) так: берется соответствующий элемент матрицы А и из него вычитаются произведения элементов, стоящих в той же строке левее и в том же столбце выше, что и вычисляемый элемент, причем первый элемент строки умножается на первый элемент столбца, второй элемент строки – на второй элемент столбца и т.д.

Таблица 2

II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru
II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru
II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru
II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru
II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru
II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru
II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru
II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru
               

3. При вычислении же элементов, расположенных под ступенчатой линией, поступают так же, как в п. 2, но полученный результат делят на диагональный элемент II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru (j = 2, 3), стоящий в том столбце (формула (3.20), что и определяемый элемент.

Этот алгоритм вычисления элементов двух треугольных матриц – нижней и верхней, на которые разлагается матрица А, легко распространяется на квадратные матрицы любого порядка.

Задача 3.3

Матрицу

II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru = II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru

представить в виде произведения нижней и верхней треугольных матриц.

Решение.Используем только что указанный порядок действий и расположим действия, как в табл. 2, причем приведем подробно все выкладки в каждой клетке и будем придерживаться порядка заполнения клеток, указанного в табл.1 (см. выше):

-1 -3
-2
II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru
II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru
II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru
               

Итак, нижняя треугольная матрица

II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru = II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru ,

а верхняя треугольная матрица

В = II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru .

Легко проверить, что

СВ = А

Задача 3.4 При определении неизвестных элементов II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru и II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru мы приняли, что II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru (i = 1, 2, 3, 4). Покажем, что если взять II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru (i = 1, 2, 3, 4), то неизвестные элементы II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru и II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru матриц, стоящих в правой части формулы (3.10), определяются по следующим формулам:

II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru ; II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru ; II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru , … II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru ; II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru ; II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru ; II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru , если (i < j) II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru , если (i ≥ j)     (3.21)

Указание. В этом случае матрица А представляется в виде произведения таких двух треугольных матриц (нижней и верхней):

II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru = II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru × II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru .

II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru Последовательность определения элементов II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru (i ≥ j) и II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru (i < j) указывается такой схемой:

(Римские цифры над стрелками указывают последовательность, в которой должны определятся элементы).

Задача 3.5 Пользуясь формулами (3.21), представить матрицу

II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru = II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru

в виде произведения двух треугольных матриц нижней и верхней.

Решение.Поступим так же, как и в предыдущем случае. Напишем матрицу А, а под ней матрицы С и В – см. формулу (3.10), причем вместо диагональных элементов матрицы впишем 1. В нижней таблице подробно выполнены все вычисления по формулам (3.21).

-3
II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru
II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru
-3 II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru
               

Таким образом, матрица А представлена в виде произведения

II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru = II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru · II. Обращение нижней треугольной матрицы - student2.ru .

Замечание. Во всех предыдущих вычислениях мы представляли матрицу в виде произведения двух треугольных: первый сомножитель был нижней, а второй – верхней треугольной матрицы. Однако такой порядок сомножителей не является обязательным и матрицу можно разложить на произведение двух треугольных матриц так, чтобы первый сомножитель был верхней, а второй – нижней треугольной матрицей. Относящиеся к этому случаю формулы мы указывать не будем.

Наши рекомендации