Свойства замкнутых множеств

1) множества Rⁿ и Æ - замкнутые (т.к. их дополнения Æ и Rⁿ – открытые).

2) Пересечение любой системы замкнутых множеств – замкнуто (показать).

3) Объединение конечной системы замкнутых множеств – замкнуто (показать).

Классификация точек относительно множества.

Определение. Точка М(x₁,…,x_n) называется предельнойточкой множества ЕÌRⁿ, если в любой окрестности этой точки содержится бесконечно много точек из множества Е.

Множество Е в объединении со множеством своих предельных точек называется замыканием множества Е - .

Например, замыкание интервала – отрезок: =[a,b].

Если точка М не является предельной для множества Е, то возможно:

1) МÏЕ, то существует шар с центром в точке М, который не содержит ни одной точки из Е.

2) МÎЕ, то существует шар с центром в точке М, который содержит только одну точку Е – точку М.

Теорема. Для того, чтобы множество было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы оно содержало все свои предельные точки.

Определение. Точка М называется внутренней точкой множества Е, если существует окрестность этой точки, входящая в множество Е: $ В(М,R)ÌЕ (только если МÎЕ)

Совокупность всех внутренних точек Е называется внутренностью М.

Точка М называется внешней точкой множества Е, если В(М,R)ÇЕ=Æ (МÏЕ)

Последовательность в Rn.

Пусть {X_k( ,…, }, kÎN – некоторая последовательность из Rⁿ.

А(a₁,…,a_n)ÎRⁿ – фиксированная точка.

Определение. Последовательность {X_k} сходитсяк точке А при k®¥, если

d(X^(k),A)®0 при k®¥, (3)

=А, X^(k)®А, k®¥,

Или последовательность {X_k} сходитсяк точке А при k®¥, если

" окрестности В(А,R) $N: "n³N Þ X⁽ⁿ⁾ÎВ(A,R).

Пример. X^(k)=( ,0,..,0,1)®А(0,…,0,1) при k®¥.

d(X^(k),A)= ®0, при k®¥.

Свойства сходящихся последовательностей.

1) Сходящаяся последовательность не может иметь более одного предела.

Доказательство. Допустим, что последовательность {X_k} имеет два предела:

X^(k)®А, k®¥ и X^(k)®В, k®¥,

Тогда по неравенству треугольника: d(A,B)£d(A, X^(k))+d(X^(k),B)

d(X^(k),A)®0, k®¥, d(X^(k),B)®0, k®¥.

Т.е. d(A,B)£0Þ d(A,B)=0ÞА=В. Ч.т.д.

2) Если последовательность точек пространства Rⁿ сходится, то она ограничена.

Доказательство. Пусть X^(k)®А, k®¥, т.е. d(X^(k),A)®0, k®¥. Тогда последовательность {d(X^(k),A)} ограничена в силу свойств числовых последовательностей (одномерных), т.е. $С: "k Þ d(X^(k),A)£C, т.е. X^(k)ÎВ(А,С), т.е. X^(k) – ограничена. Ч.т.д.

Связь сходимости последовательностей точек из Rⁿ со сходимостью последовательностей их координат.

Пусть последовательность {x^(k)}ÎRⁿ, тогда x^(k)=( ,…, ), т.е.

x⁽¹⁾=( ,…, ), x⁽²⁾=( ,…, ),…

Теорема. Для того, чтобы последовательность точек из Rⁿ сходилась к точке А(a₁,…,a_n), необходимо и достаточно, чтобы сходились все числовые последовательности, составленные из координат этих точек, т.е.

®a₁, k®¥,…, ®a_n, k®¥ (4)

Доказательство. Необходимость. Пусть x^(k)®А, k®¥ Ûd(x^(k),A)®0, k®¥Û

Û ®0, k®¥ (5)

Имеем: 0£ê -а₁ê£ ,

0£ê -а₂ê£ ,…,

0£ê -a_nê£ ,

С учетом (5), получаем, что ®a₁, k®¥,…, ®a_n, k®¥.

Достаточность. Пусть ®a₁, k®¥,…, ®a_n, k®¥. Тогда

( -a₁)®0, k®¥,…,( -a_n)®0, k®¥ Þ ( -a₁)²®0, k®¥,…,( -a_n)²®0, k®¥

Þ(( -a₁)²+…+( -a_n)²)®0, k®¥Þ d(x^(k),A)®0, k®¥Þ x^(k)®А, k®¥. ч.т.д.

Определение. Последовательность {x^(k)}ÎRⁿ называется фундаментальной, если d(x^(k),x^(m))®0, k,m®¥ (6)

Теорема. Для того, чтобы последовательность {x^(k)} из Rⁿ сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Доказательство. (Показать, что {x^(k)} фундаментальная Û когда фундаментальны последовательности ее координат.)

Теорема.. Из всякой ограниченной последовательности точек {x^(k)} из Rⁿ можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Пусть последовательность {x^(k)} ограничена, тогда

$C>0: "k=1,2,… и "i=1,2,..,n Þ ê ê£CÞограничены последовательности всех координат.

Докажем для случая n=2. Т.е. для последовательности {x^(k)(x_k,y_k)}.

Тогда последовательности {x_k}_kÎN и {у_k}_kÎN – ограничены.

Рассмотрим последовательность {x_k}_kÎN – она числовая и ограниченная. Следовательно (по принципу Больцано-Вейерштрасса) из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. Пусть это будет подпоследовательность и пусть (а – конечное число).

Из последовательности {у_k}_kÎN выделим подпоследовательность так, чтобы индексы этой подпоследовательности совпадали с индексами подпоследовательности .

Подпоследовательность - числовая, ограниченная. Поэтому из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. Пусть это будет подпоследовательность . Пусть (b – конечное число).

Теперь из выделим подпоследовательность так, чтобы ее индексы совпадали с индексами . Тогда (т.к. любая подпоследовательность, выделенная из сходящейся последовательности, сходится к тому же пределу).

Т.о. = - искомая последовательность, которая сходится к точке А(a,b). Ч.т.д.

Определение. Множество МÌRⁿ называется компактным, если из любой последовательности точек из М можно выделить сходящуюся подпоследовательность, предел которой лежит в М.

Примеры. Отрезок – компактное множество, а интервал и полуинтервалы – нет (последовательность может сходится к концу интервала, который ему не принадлежит).

Теорема. Для того, чтобы множество МÌRⁿ было компактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было замкнутым и ограниченным.

Понятие функции нескольких переменных.

Пусть имеется множество Е пар чисел (х,у). Геометрически Е представляет собой некоторое множество точек плоскости Оху.

Если каждой точке (х,у)ÎЕ по какому-либо правилу сопоставить определенное значение переменной z, то говорят, что на множестве Е задана функция z=f(x,y).

Переменные х и у называют независимыми переменными или аргументами, а множество Е – областью определения функции.

Геометрически функция z=f(x,y) иллюстрируется следующим образом. Рассмотрим прямоугольную систему координат Охуz и предположим, для простоты, что область задания Е функции представляет собой часть плоскости Оху. Возьмем на Е какую-нибудь точку М(х,у) и вычислим соответствующее значение z. Это значение z отложим на перпендикуляре к плоскости Оху, проходящем через точку М(х,у). В результате получим в пространстве точку Р(х,у,z). Когда точка М(х,у) будет перемещаться в области задания Е, соответствующая точка Р(х,у,z) опишет, как правило, некоторую поверхность. Эта поверхность служит геометрическим изображением данной функции z=f(x,y). Т.о. графиком функции двух переменных z=f(x,y) называется множество точек трехмерного пространства (х,у,z), аппликата z которых связана с абсциссой х и ординатой у соотношением z=f(x,y).

График функции z=f(х₁,х₂,…,х_n) имеет геометрическую интерпретацию только при n≤2. n=1 - линия на плоскости Оху, n=2 – поверхность в пространстве R³.

Определение. Функцией n переменных называется закон, правило, по которому каждому набору из n переменных (х₁,х₂,…,х_n) из некоторого множества Х ставится в соответствие единственное значение переменной u.

u=f(х₁,х₂,…,х_n)

Переменные х₁,х₂,…,х_n – называются независимыми или аргументами, переменная u – зависимой. Если точку (х₁,х₂,…,х_n) обозначить через М, то функцию u=f(х₁,х₂,…,х_n) называют функцией точки М и обозначают u=f(М).

Областью определения функции z называется множество значений переменных х₁,х₂,…,х_n при которых функция имеет смысл. (множество Х Rⁿ).

Геометрическая интерпретация ООФ возможна только при n≤3.

n=1 функция одной переменной, ООФ – некоторый промежуток прямой Ох.

n=2 функция двух переменных, ООФ – часть (или вся) плоскости Оху.

n=3 функция трех переменных, ООФ – часть или все пространство R³.

Пример. Найти ООФ z= .

1-х²-у²≥0, х²+у²≤1

Все точки М(х,у), удовлетворяющие этому неравенству, лежат в круге радиуса 3 с центром в (0;0) и на границе этого круга (рисунок).

Предел функции нескольких переменных.

Пусть функция u=f(М) определена на множестве ЕÌRⁿ. Пусть точка М₀ – предельная точка множества Е.

Определение 1. Функция u=f(х₁,х₂,…,х_n) имеет пределом число А при стремлении переменных х₁,х₂,…,х_n, соответственно, к а₁,а₂,…,а_n, если

"e>0 $d>0: êx₁-a₁ê<d,….,êx_n-a_nê<dÞêf(х₁,х₂,…,х_n)-Aê<e

При этом точка М(х₁,…,х_n) предполагается взятой из Е и отлична от М₀(а₁,…,а_n).

Т.о. неравенство должно выполняться во всех точках множества Е, лежащих в достаточно малой окрестности точки М₀: (а₁-d,а₁+d;…;а_n-d,а_n+d), но исключая саму точку М₀ (если М₀ÎЕ).

А= или А=

Например, при n=2. Число А называется пределом функции z=f(x,y) при х→х₀, у→у₀ (в точке (х₀,у₀)), если для любого, сколь угодно малого положительного числа ε>0, найдется положительное число δ>0, зависящее от ε, δ=δ(ε)), такое, что для всех точек (х,у), отстоящих от точки (х₀,у₀) на расстояние 0<ρ<δ, выполняется неравенство

f(x,y)=А

(

Определение 2. Число А называется пределом функции f(М) при М®М₀, если

"e>0 $d>0 такое, что как только МÎЕ, М¹М₀ и d(M,M₀)<dÞêf(M)-M₀ê<e

Определение 3. Функция u=f(х₁,х₂,…,х_n) имеет пределом число А при стремлении переменных х₁,х₂,…,х_n, соответственно, к а₁,а₂,…,а_n, если для любой последовательности точек {M_k}_kÎN такой, что

"kÎN, M_kÎE, M_k¹M₀ и M_k®M₀ при k®¥ соответствующая последовательность значений функции f(M₁),…,f(M_k),… всегда имеет одно и то же число A.

Пример.