Рекомендации по решению типовых задач

Задача 1.Найти общее решение (или общий интеграл) данных дифференциальных уравнений:

а) х × у × у¢ = 1 + х2 ,

в) 4х - 3у + у¢(2у - 3х) = 0,

с) х × у¢ + 2 у = х2 .

Решение:

а) Запишем уравнение в виде уравнения, разрешенного

относительно производной, т. е. в виде

у¢ =

f (x, у) .

В данном случае, поделив обе части уравнения на получаем

х × у ,

у¢ = 1+х

ху

= 1 +х 1 .

х у

Правая часть уравнения есть произведение двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной. Это значит, что данное уравнение является уравнением с разделяю- щимися переменными. Разделим переменные следующими дей- ствиями:

рекомендации по решению типовых задач - student2.ru рекомендации по решению типовых задач - student2.ru у¢ = dy ,

dy = 1 + x 1 ,

y dy =

1 + x2

dx .

рекомендации по решению типовых задач - student2.ru рекомендации по решению типовых задач - student2.ru

dx dx x y x

Получили в результате уравнение с разделенными пере- менными, обе части которого интегрируем:

у dy =

1 + x2

dx ,

у dy =

æ 1 + x ö dx ,


Наши рекомендации