Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение

Пусть на входе цепи (рис. 11.10) действует постоянное напряжение U.

Запишем уравнение состояния цепи

Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru .

Будем выполнять расчеты для напряжения емкости. Учтем, что емкостный ток можно определить по формуле

Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru .

Подставим ток в дифференциальное уравнение, учитывая то, что ток через все элементы протекает один и тот же

Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru .

Решение ищем в виде суммы свободной и принужденной составляющих.

Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru .

Находим принужденную составляющую.

Поскольку сопротивление емкости постоянному току бесконечно велико, то принужденная составляющая тока будет равна нулю iпр = 0. Падение напряжения на резистивном элементе также будет равно нулю, а индуктивность представляет собой короткое замыкание для постоянного тока, то есть UL = 0, следовательно, все напряжение источника в установившемся режиме будет приложено к емкости иСпр = U.

Для определения свободной составляющей составляем характеристическое уравнение, приравнивая нулю источники и заменяя символ дифференцирования оператором р

Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ruВключение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru .

Находим корни уравнения

Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru .

Рассмотрим решение для двух случаев корней.

Апериодический процесс

Решение для свободной составляющей ищем в виде

Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru ,

тогда

Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru .

Для определения постоянных интегрирования записываем первую производную от напряжения

Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru .

Находим в начальный момент переходного процесса t = 0 значения напряжения на емкости uC(0) и его производной Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru .

По второму закону коммутации Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru , следовательно, uC(0) = 0.

Первую производную находим из выражения для тока

Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru .

По первому закону коммутации i(0+) = i(0-) = 0. Так как С ≠ 0, то нулю равна производная

Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru .

Запишем уравнения для напряжения и его производной при t = 0

Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru ;

Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru ,

Из первого уравнения находим

Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru ,

Подставляем во второе уравнение

Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru .

Отсюда получаем:

Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru ; Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru .

Запишем окончательное решение для напряжения

Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru ;

 
  Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru

График переходного процесса для напряжения с учетом того, что Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru показан на рис. 11.12.

Найдем выражение для тока. Для этого необходимо продифференцировать выражение для напряжения

Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru .

 
  Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru

График переходного процесса для тока показан на рис. 11.13.

2. Колебательный процесс

В этом случае корни характеристического уравнения будут комплексно-сопряженные

Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru .

Постоянные времени переходного процесса определятся выражением

Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru

Принужденные составляющие тока и напряжения имеют те же значения, что и в предыдущем случае

Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru

Начальные условия:

Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru .

Поскольку корни комплексно-сопряженные, решение для свободной составляющей ищем в виде

Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru .

Запишем уравнения для напряжения и его производной:

Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru

Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru .

Используя начальные условия, получаем

Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru .

Из первого уравнения находим

Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru .

Подставляем во второе

Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru

Отсюда

Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru .

Запишем решение для напряжения

Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru .

 
  Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru

График переходного процесса будет иметь вид (рис. 11.14).

Найдем ток в цепи

Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru

Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru .

Приведем это выражение к привычному виду. Умножим и разделим выражение в скобках на Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru .

Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru .

Учтем, что

Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru .

Рассмотрим выражение для корней характеристического уравнения

Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru .

Здесь

Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru ; Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru .

Тогда Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru , отсюда Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru ,

где ω0 – резонансная частота.

С учетом этого выражение для тока запишется

Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru .

По правилам тригонометрических преобразований

Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru .

Если принять, что Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru , а Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru , то Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru .

Окончательно получим

Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru .

Если учесть, что

Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru , а Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru ,

то выражение для тока можно записать в виде

 
  Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru

Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru .

График изменения тока показан на рис. 11.15.

Таким образом, переходной процесс будет затухающим. Скорость затухания характеризуется декрементом колебаний, равным отношению двух соседних амплитуд

Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru .

Логарифмический декремент колебаний определится выражением:

Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжение - student2.ru .

Наши рекомендации