Специальные классы линий и поверхностей


Линии на плоскости

Астроида (рис. 7.2)

(см. также гипоциклоиду модуля m = 1/4).

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Уравнение в декартовых координатах:

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Параметрические уравнения:

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Площадь, ограниченная астроидой: Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Длина дуги от точки A до произвольной точки M(t):

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Длина всей астроиды: s = 6R.

Радиус кривизны в произвольной точке: Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru


Гипоциклоида (рис. 7.3)

Гипоциклоида - линия, описываемая точкой окружности радиуса r, катящейся без скольжения по другой окружности радиуса R внутри нее (m = r/R - модуль гипоциклоиды)

Параметрические уравнения:

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

где mR = r.

Частные случаи см. на рис. 7.4.

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Длина дуги от точки A до произвольной точки M(t):

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Длина одной ветви гипоциклоиды: Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Площадь сектора, ограниченного одной ветвью линии:

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Радиус кривизны в произвольной точке:

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Декартов лист (рис. 7.5)

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Декартов лист - линия, заданная уравнением

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Параметрические уравнения:

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Полярное уравнение: Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Асимптота: y = - x - a.

Площадь, ограниченная петлей декартова листа: Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru


Кардиоида (рис. 7.6)

(см. также эпициклоиду с модулем m = 1)

Уравнение в декартовых координатах:

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Параметрические уравнения:

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Полярное уравнение (с полюсом в точке A):

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Длина дуги от точки A до произвольной точки M:

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Длина всей кардиоиды: s = 16r.

Площадь, ограниченная кардиоидой: Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Радиус кривизны в произвольной точке:

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Конхоида Никомеда (рис. 7.7)

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Конхоида Никомеда - линия, полученная при увеличении или уменьшении каждого радиуса-вектора точек данной прямой y = a на одну и ту же величину l, т. е. Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Уравнение в декартовых координатах:

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Полярное уравнение: Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Асимптота: y = a.

Лемниската Бернулли (рис. 7.8)

(см. овалы Кассини при a = c).

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Уравнение в декартовых координатах:

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Полярное уравнение: Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Длина дуги лемнискаты между точками, для которых Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru и Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

(эллиптический интервал первого рода).

Площадь сектора между осью и радиусом-вектором, соответствующим углу Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Площадь, ограниченная лемнискатой: Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Радиус кривизны: Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Локон (верзиера) Аньези (рис. 7.9)

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Пусть имеется круг диаметром |OC| = a. Локон Аньези - множество точек M, для каждой из которых OB : BD = OC : BM.

Уранение в декартовых координатах:

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Асимптота: y = 0.

Площадь между верзиерой и ее асимптотой: Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Овалы Кассини (рис. 7.10)

Овалы Кассини - множество точек плоскости, произведение расстояний от каждой из которых до двух данных точек (фокусов) постоянно.

Уранение в декартовых координатах:

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

где Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru - фокусы; Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

При Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru линия выпуклая, при Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru имеет вид овала с двумя утолщениями, при a = c - лемниската Бернулли, при с > a состоит из двух замкнутых линий.

Розы

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Уравнение, название График
Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru техлепестковая роза Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru
Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru четырехлепестковая роза Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru
Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru
Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru
Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru
Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Общие свойства

1. Если k - нечетное число, роза состоит из k лепестков.

2. Если k - четное число, роза состоит из 2k лепестков.

3. Если k = m/n, n > 1, - рациональное число, роза состоит из m лепестков при m и n нечетных и из 2m лепестков, если одно из этих чисел четное (при этом каждый следующий лепесток частично покрывает предыдущий).

4. Если k - иррациональное число, роза состоит из бесчисленного множества лепестков, частично накладывающихся друг на друга.

Спирали

Уравнение, название График
Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru спираль Архимеда Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru
Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru спираль Галилея Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru
Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru спираль гиперболическая Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru
Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru спираль "жезл" Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru
Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru спираль Корню (клофоида) Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru
Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru спираль логарифмическая Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru
Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru спираль параболическая Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru
Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru спираль Ферми Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru
Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Дополнительные сведения о некоторых спиралях

Гиперболическая спираль Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Асимптота: y = a.

Площадь сектора, ограниченного дугой гиперболической спирали и двумя радиусами-векторами Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru и Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru с углами Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru и Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru :

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Длина дуги между точками Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru и Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru


Логарифмическая спираль Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Длина дуги между точками Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru и Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Радиус кривизны: Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru


Спираль Архимеда Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Длина дуги между точками Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru и Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Площадь сектора, ограниченного дугой спирали Архимеда и двумя радиусами-векторами Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru и Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru , соответствующими углам Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru и Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru :

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Площадь, ограниченная полярной осью и n-м витком спирали:

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Строфоида (рис. 7.11)

Даны точка О и прямая, находящаяся от точки О на расстоянии ОА = а. Вокруг точки О вращается луч, пересекающий прямую в переменной точке В. Строфоида - множество точек Мi, i = 1, 2, таких, что BМ1 = BМ2 = AB.

Уравнение в декартовых координатах:

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Уравнение в полярных координатах:

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Параметрические уравнения:

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Площадь, ограниченная петлей строфоиды:

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Трактриса (рис. 7.12)

Трактриса - линия, у которой длина касательной является постоянной величиной a.

Уравнение в декартовых координатах:

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Параметрические уравнения:

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Длина дуги, отсчитываемая от точки A(0; a) до произвольной точки: Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Площадь, ограниченная трактрисой и ее асимптотой: Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Радиус кривизны: Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Улитка Паскаля (рис. 7.13)

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

На произвольном луче OA от точки A пересечения его с окружностью Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru по обе стороны откладываются отрезки Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru Улитка Паскаля - множество точек Мi.

Уравнение в декартовых координатах:

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Уравнение в полярных координатах:

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Площадь, ограниченная улиткой (для случая l > 2a):

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

При l = 2a получается кардиоида.

Цепная линия (рис. 7.14)

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Цепная линия - линия, форму которой принимает гибкая однородная, нерастяжимая тяжелая нить с закрепленными концами.

Уравнение в декартовых координатах:

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Длина дуги от вершины до произвольной точки M (x; y):

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Площадь, ограниченная цепной линией, двумя ее ординатами и осью абсцисс:

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Радиус кривизны: Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Циклоиды (рис. 7.15)

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Циклоида - линия, которую описывает точка M, расположенная на расстоянии d от центра круга радиуса a, катящегося без скольжения по прямой. Если d = a, циклоида называется обыкновенной, d > a, - удлиненной, d < a, - укороченной.

Обыкновенная циклоида

Параметрические уравнения:

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Уравнение в декартовых координатах:

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Длина дуги циклоиды от исходной точки (t = 0) до произвольной точки M (t):

Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Длина одной арки циклоиды: s = 8a.

Площадь, ограниченная одной аркой циклоиды и ее базисом: Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Радиус кривизны в произвольной точке: Специальные классы линий и поверхностей - student2.ru

Наши рекомендации