Определение характеристик математической модели. Проверка адекватности по критерию Фишера

по дисциплине «Моделирование»

Специальность 1-360901 «Машины и аппараты пищевых производств»

Проверил Выполнил

студент группы

Новик В. С.

«__»_________2012г. «__»_________2012г

Могилев 2012

Задание 1

1. Постановка задачи.

По заданным экспериментальным данным из m серий измерений по n измерений в каждой серии определить характеристики a и b математической модели объекта. Проверить адекватность полученного теоретического решения по критерию Фишера.

Схема взаимодействия объекта со средой:

x y=f(x) y

Экспериментальные данные:

Параметр X(i) yji
№(i) y1i y2i y3i y4i y5i
0,157 0,197 0,167 0,177 0,147
0,09 0,13 0,1 0,11 0,08
0,061 0,101 0,071 0,081 0,051
0,046 0,086 0,056 0,066 0,036
0,035 0,075 0,045 0,055 0,025
0,028 0,068 0,038 0,048 0,018
0,023 0,063 0,033 0,043 0,013
0,019 0,059 0,029 0,039 0,009
0,016 0,056 0,026 0,036 0,006
0,014 0,054 0,024 0,034 0,004

2. Ход решения.

Исходное уравнение кривой имеет вид:

Определение характеристик математической модели. Проверка адекватности по критерию Фишера - student2.ru (1)

Поделим уравнение (1) на 1 и получим:

Определение характеристик математической модели. Проверка адекватности по критерию Фишера - student2.ru

Обозначим:

Определение характеристик математической модели. Проверка адекватности по критерию Фишера - student2.ru

Определение характеристик математической модели. Проверка адекватности по критерию Фишера - student2.ru

Определение характеристик математической модели. Проверка адекватности по критерию Фишера - student2.ru

Определение характеристик математической модели. Проверка адекватности по критерию Фишера - student2.ru

Вводя новые переменные получим уравнение

Определение характеристик математической модели. Проверка адекватности по критерию Фишера - student2.ru ,(2)

которое является уравнением прямой.

Расчет коэффициентов в уравнении (2) ведем по методу наименьших квадратов, т.к этот метод дает наименьшую ошибку аппроксимации опытных данных. Согласно этому методу коэффициенты Определение характеристик математической модели. Проверка адекватности по критерию Фишера - student2.ru и Определение характеристик математической модели. Проверка адекватности по критерию Фишера - student2.ru определяются:

Определение характеристик математической модели. Проверка адекватности по критерию Фишера - student2.ru (3)

Определение характеристик математической модели. Проверка адекватности по критерию Фишера - student2.ru (4)

Расчёт сумм удобнее вести в табличной форме, предварительно определив средние значения функций Определение характеристик математической модели. Проверка адекватности по критерию Фишера - student2.ru из m серий измерений:

Параметр X Yср Xlin Ylin X*Ylin
№(i)
0,169 - 5,91716 5,91716
0,102 - 9,803922 19,60784
0,073 - 13,69863 41,09589
0,058 - 17,24138 68,96552
0,047 - 21,2766 106,383
0,04 -
0,035 - 28,57143
0,031 - 32,25806 258,0645
0,028 - 35,71429 321,4286
0,026 - 38,46154 384,6154
Сумма 0,609 - 227,943 1556,078

Подставив расчетные данные в формулы (3) и (4) получим:

Определение характеристик математической модели. Проверка адекватности по критерию Фишера - student2.ru

Определение характеристик математической модели. Проверка адекватности по критерию Фишера - student2.ru

Так как Определение характеристик математической модели. Проверка адекватности по критерию Фишера - student2.ru , то a = 2,634

Так как Определение характеристик математической модели. Проверка адекватности по критерию Фишера - student2.ru то b = 3,665

Таким образом искомая эмпирическая зависимость будет иметь вид:

Определение характеристик математической модели. Проверка адекватности по критерию Фишера - student2.ru (5)

Оценка адекватности состоит в сопоставлении полученной или предполагаемой теоретической функции Определение характеристик математической модели. Проверка адекватности по критерию Фишера - student2.ru с результатами измерений.

Для этого необходимо рассчитать экспериментальное (опытное) значение Критерия Фишера - Определение характеристик математической модели. Проверка адекватности по критерию Фишера - student2.ru и сравнить его с теоретическим (табличным) - Определение характеристик математической модели. Проверка адекватности по критерию Фишера - student2.ru , принимаемым при требуемой доверительной вероятности Определение характеристик математической модели. Проверка адекватности по критерию Фишера - student2.ru (обычно Определение характеристик математической модели. Проверка адекватности по критерию Фишера - student2.ru . Если Определение характеристик математической модели. Проверка адекватности по критерию Фишера - student2.ru – модель адекватна, если Определение характеристик математической модели. Проверка адекватности по критерию Фишера - student2.ru – модель неадекватна.

Экспериментальный критерий Фишера вычисляют по формуле

Определение характеристик математической модели. Проверка адекватности по критерию Фишера - student2.ru (6)

где Определение характеристик математической модели. Проверка адекватности по критерию Фишера - student2.ru дисперсия адекватности;

Определение характеристик математической модели. Проверка адекватности по критерию Фишера - student2.ru – средняя дисперсия всего эксперимента,

Определение характеристик математической модели. Проверка адекватности по критерию Фишера - student2.ru

Определение характеристик математической модели. Проверка адекватности по критерию Фишера - student2.ru

где Определение характеристик математической модели. Проверка адекватности по критерию Фишера - student2.ru теоретическое значение функции для каждого измерения;

Определение характеристик математической модели. Проверка адекватности по критерию Фишера - student2.ru – экспериментальное значение функции;

Определение характеристик математической модели. Проверка адекватности по критерию Фишера - student2.ru –среднее экспериментальное значение функции из m серий измерений;

n – количество измерений в одном опыте (серии);

m – количество опытов (серий);

d – число коэффициентов уравнения теоретической регрессии.

Расчет сумм удобнее вести в табличной форме, предварительно определив по формуле (5) теоретические значения функции:

Параметр (Yт-Yэср)² (Yт-Yэ1)² (Yт-Yэ2)² (Yт-Yэ3)² (Yт-Yэ4)² (Yт-Yэ5)² Ʃ(Yт-Yэ5)²
№(i)
0,15872 0,000106 2,97E-06 0,00147 6,8E-05 0,0003 0,00014 0,002
0,10035 2,74E-06 0,000107 0,00088 1,2E-07 9E-05 0,00041 0,0015
0,07336 1,31E-07 0,000153 0,00076 5,6E-06 6E-05 0,0005 0,0015
0,05782 3,39E-08 0,00014 0,00079 3,3E-06 7E-05 0,00048 0,0015
0,04771 4,99E-07 0,000161 0,00074 7,3E-06 5E-05 0,00052 0,0015
0,04061 3,67E-07 0,000159 0,00075 6,8E-06 5E-05 0,00051 0,0015
0,03535 1,19E-07 0,000152 0,00076 5,5E-06 6E-05 0,0005 0,0015
0,03129 8,49E-08 0,000151 0,00077 5,3E-06 6E-05 0,0005 0,0015
0,02807 5,15E-09 0,000146 0,00078 4,3E-06 6E-05 0,00049 0,0015
0,02545 2,99E-07 0,000131 0,00081 2,1E-06 7E-05 0,00046 0,0015
Сумма - 0,00011 - - - - - 0,0153

Подставив расчетные данные в формулу (6) получим:

Определение характеристик математической модели. Проверка адекватности по критерию Фишера - student2.ru

Определение характеристик математической модели. Проверка адекватности по критерию Фишера - student2.ru

Определение характеристик математической модели. Проверка адекватности по критерию Фишера - student2.ru

Значение Определение характеристик математической модели. Проверка адекватности по критерию Фишера - student2.ru принимается по таблице 2 [8] для доверительной вероятности Определение характеристик математической модели. Проверка адекватности по критерию Фишера - student2.ru и числа степенной свободы Определение характеристик математической модели. Проверка адекватности по критерию Фишера - student2.ru и Определение характеристик математической модели. Проверка адекватности по критерию Фишера - student2.ru .

По условию задачи n = 10, d = 2 и m = 5

Тогда Определение характеристик математической модели. Проверка адекватности по критерию Фишера - student2.ru и, соответственно, Определение характеристик математической модели. Проверка адекватности по критерию Фишера - student2.ru

Так как Определение характеристик математической модели. Проверка адекватности по критерию Фишера - student2.ru то модель адекватна экспериментальным данным (описываемому процессу).

Наши рекомендации