Определение дифференциального уравнения первого порядка, его общего и частного решения (интеграла)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Методические указания

к контрольной работе № 8

Составители Т.А. Шалыгина, Л.И. Цепилевич

Томск 2008

Дифференциальные уравнения: методические указания / Сост. Т.А. Шалыгина, Л.И. Цепилевич.  Томск: Изд-во Том. гос. архит.- строит. ун-та, 2008. – 32 с.

Рецензент старший преподаватель Н.А. Мокряк Редактор Е.Ю. Глотова

Методические указания по высшей математике для студентов второго курса заочной формы обучения к выполнению контрольной работы № 8 по теме «Дифференциальные уравнения».

Печатаются по решению методического семинара кафедры высшей математики, протокол № 9 от 21.05.2008 г.

Утверждены и введены в действием проректором по учебной работе В.В. Дзюбо

с 1.09.2008

до 1.09.2013

Подписано в печать. Формат 60х84/16 Бумага офсет. Гарнитура Таймс, печать офсет.

Уч.-изд. л. 1,68. Тираж 150. Заказ №

Изд-во ТГАСУ, 634003, г. Томск, пл. Соляная, 2. Отпечатано с оригинал-макета в ООП ТГАСУ. 634003, г. Томск, ул. Партизанская, 15.

Введение

Данные методические указания предназначены для сту- дентов заочного факультета и дают ряд практических рекомен- даций студентам по выполнению контрольной работы. Указа- ния содержат список рекомендуемой литературы, вопросы для самопроверки, краткие теоретические сведения, рекомендации по решению типовых задач, контрольные задания.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 8: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Основные понятия

Определение дифференциального уравнения первого порядка, его общего и частного решения (интеграла)

1.1.Дифференциальным уравнением первого порядка на- зывается соотношение между независимой переменной х, неизвестной функцией у (х) и ее первой производной у¢, т. е.

F (x, y, y¢) = 0 .

Если это уравнение можно разрешить относительно про- изводной у¢, то оно примет вид

у¢ =

f (x, y) .

Дифференциальное уравнение первого порядка может быть записано с использованием дифференциалов х и у, т. е.

P(x, y)dx + Q(x, y) dy = 0 .

1.2.Общим решением дифференциального уравнения пер-

вого порядка называется функция ная, удовлетворяющая условиям:

у = j(х, с) , где с - постоян-

а) она удовлетворяет дифференциальному уравнению при любых значениях постоянной с;

б) каково бы ни было начальное условие у = у0 , при

х = х0

можно найти такое значение

с = с0 , что функция

у = j(х, с0 )

удовлетворяет данному начальному условию.

1.3.Частным решением называется функция

у = j(х, с0 ) ,

которая получается из общего решения

у = j(х, с) , если в нем

произвольной постоянной с придать значение с0.

1.4.Соотношение вида

Ф(х, у, с) = 0 , неявно задающее

неизвестную функцию у, называется общим интегралом диф-

ференциального уравнения, а соотношение

стным интегралом.

Ф (х, у, с0 ) = 0  ча-

1.5.Геометрически общее решение (или общий интеграл)

представляет собою семейство кривых на координатной плос- кости. Частному решению (или частному интегралу) соответст- вует одна кривая этого семейства, проходящая через заданную точку М0(х0, у0).

1.6.Задача Коши состоит в отыскании решения диффе-

ренциального уравнения первого порядка, удовлетворяющего

начальному условию

у = у0

при

х = х0 .