Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування

Скалярним добутком двох векторів Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru і Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru називається число

S =| Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru | | Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru |сos( Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru ).

Ця операція позначається Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru . Зокрема, скалярний квадрат вектора дорівнює квадратові його довжини, тобто Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru . Якщо один з векторів, що перемножуються, одиничний, то:

Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru .

Властивості скалярного добутку:

1) Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru × Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru = ï Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru ï2;

2) Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru × Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru = 0, якщо Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru ^ Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru або Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru = 0, або Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru = 0.

3) Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru × Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru = Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru × Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru ;

4) Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru ×( Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru + Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru ) = Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru × Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru + Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru × Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru ;

5) (m Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ruСкалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru = Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru ×(m Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru ) = m( Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru × Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru ).

Нехай задані вектори у прямокутній системі координат

Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru

тоді Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru .

Якщо розглядати вектори Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru у декартовій прямокутній системі координат, то Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru × Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru = xa xb + ya yb + za zb.

Використовуючи отримані рівності, отримуємо формулу для обчислення кута між векторами:

Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru .

Якщо скалярний добуток двох векторів дорівнює нулеві, то ці вектори ортогональні. Дійсно, якщо жоден з векторів не нульовий, то, за означенням скалярного добутку, останній може дорівнювати нулеві тільки тоді, коли Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru , тобто Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru .

Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru

Рис.3.

Якщо скалярний добуток двох векторів дорівнює нулеві, то ці вектори ортогональні. Дійсно, якщо жоден з векторів не нульовий, то, за означенням скалярного добутку, останній може бути рівним нулеві тільки тоді, коли Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru , тобто Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru .

Якщо вектор представлений через проекції на базисні вектори, то говорять про розкладання вектора Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru по ортогональному базису. З рисунка видно, що в цьому випадку вектор Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru є головною діагоналлю прямокутного паралелепіпеда, ребра якого паралельні осям координат і дорівнюють довжинам проекцій вектора Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru на ці осі. З цього ж рисунка випливає, що модуль вектора Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru чисельно буде дорівнює

Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru .

З означення скалярного добутку випливає, що будь-який вектор, незалежно від типу, можна представити у вигляді:

Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru ,

де Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru , Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru і Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru є скалярний добуток вектора Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru з ортами осей координат.

У цьому випадку результат являє собою проекцію вектора Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru на напрямок одиничного вектора Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru . Отже, будь-який вектор можна представити як Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru , де Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru - проекції вектора Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru відповідно на осі 0х, 0у і 0z.

З останньої рівності маємо

Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru

де a, b і g - кути, що утворює вектор Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru відповідно з осями 0х, 0у і 0z.

Лінійно незалежні вектори Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru , Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru і Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru утворюють праву трійку векторів, якщо вони мають таку ж орієнтацію, як відповідно великий, вказівний і середній палець правої руки, у протилежному випадку говорять про ліву трійку векторів.

Три одиничних вектори i, j, k, попарно ортогональні один одному й утворюючій правій трійці векторів, називають прямокутною декартовою системою координат.

Кутом між векторами Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru і Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru називають такий кут a, не переважаючий p, на який потрібно повернути вектор Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru , щоб сполучити його з напрямком вектора Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru , початок якого повинен збігатися з початком Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru . Кут між векторами позначається ( Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru , Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru ) або ( Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru Ù Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru ).

Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru

Рис.4.

Означення. Векторним добуткомвекторів Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru і Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru називається вектор Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru , який задовольняє наступні умови:

1) Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru , де j - кут між векторами Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru і Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru ,

Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru

2) вектор Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru ортогональний векторам Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru і Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru ,

3) Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru , Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru і Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru утворюють праву трійку векторів.

Векторний добуток позначають: Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru або Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru .

Властивості векторного добутку векторів:

1) Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru ;

2) Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru , якщо Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru ïï Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru або Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru = 0 або Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru = 0;

3) (m Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ruСкалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru = Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru ´(m Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru ) = m( Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru ´ Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru );

4) Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru ´( Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru + Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru ) = Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru ´ Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru + Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru ´ Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru ;

5) Якщо задані вектори Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru (xa, ya, za) і Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru (xb, yb, zb) в декартовій прямокутній системі координат з одиничними векторами Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru , то

Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru ´ Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru = Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru .

6) Геометричний зміст векторного добутку – площа паралелограма, побудованого на векторах Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru і Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru .

Означення. Мішаним добуткомвекторів Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru , Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru і Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru називається число, яке дорівнює скалярному добутку вектора Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru на вектор, рівний векторному добутку векторів Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru і Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru .

Позначається Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru або ( Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru , Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru , Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru ).

Мішаний добуток векторів Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru за модулем дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru , Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru і Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru .

Властивості мішаного добутку:

1) Мішаний добуток дорівнює нулеві, якщо:

а) хоча б один з векторів дорівнює нулеві;

б) два з векторів колінеарні;

в) вектори компланарні.

2) Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru .

3) Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru .

4) Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru .

5) Об’єм трикутної піраміди, утвореної векторами Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru , Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru і Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru , дорівнює

Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru

6) Якщо Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru , Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru , то

Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів, їх застосування - student2.ru .

Наши рекомендации