Краткие теоретические сведения. Электростатика – раздел электродинамики, в котором рассматриваются не зависящие от времени поля распределения неподвижных зарядов ( )

Электростатика – раздел электродинамики, в котором рассматриваются не зависящие от времени поля распределения неподвижных зарядов ( ). При этом система уравнений Максвелла сводится к двум уравнениям:

(1.1)

. (1.2)

Из (1.2) следует, что электрическое поле системы неподвижных зарядов носит потенциальный характер, т.е.

, (1.3)

где j - потенциал электростатического поля. Потенциал j определен с точностью до постоянной, значение которой обусловлено выбором точки нулевого потенциала:

. (1.4)

Т.к. сила, действующая на пробный заряд q, помещенный в рассматриваемую точку поля, , то работа электростатического поля по перемещению заряда из точки 1 поля в точку 2 равна:

. (1.5)

Подстановка (1.3) в (1.1) позволяет объединить уравнения (1.1) и (1.2) в одно основное уравнение электростатики:

. (1.6)

В области пространства, где заряды отсутствуют, уравнение (1.6), называемое уравнением Пуассона, переходит в уравнение Лапласа:

. (1.7)

Основной задачей электростатики является нахождение поля заданного распределения заряда и сил, действующих на заряд, помещенный в рассматриваемую точку поля. Такая задача в общем случае сводится к решению уравнения (1.6) или (1.7) с последующим определением вектора напряженности в соответствии с (1.3). При решении уравнений (1.6) и (1.7) следует помнить, что потенциал непрерывен на границах разделов сред, а производные потенциала, определяющие проекции напряженности электрического поля, изменяются в соответствии с граничными условиями (7).

Во многих случаях решение основной задачи электростатики может быть более простым при использовании принципа суперпозиции для напряженностей или потенциалов. Так, поле точечного заряда определяется следующими выражениями:

, , (1.8)

если начало координат совмещено с зарядом, или

, (1.9)

(здесь - радиус-вектор точки наблюдения поля, а - радиус-вектор заряда).

Рассматривая в системе объемно распределенных зарядов элементарный заряд dq=rdV¢ как точечный,его поле можно записать в виде (см. рис 1.1):

,

,

где .

Тогда напряженность и потенциал электростатического поля всей системы равны:

, (1.10)

. (1.11)

Если система зарядов обладает центральной или осевой симметрией и, кроме того, существуют поверхности, на которых значение напряженности остается постоянным, наиболее рациональным для расчета поля является использование теоремы Гаусса в интегральной форме

. (1.12)

Энергия электростатического поля в общем случае равна

, (1.13)

где интегрирование ведется по всей области, занятой полем.

Если объемно распределенный заряд ограничен в пространстве, то его энергия, равная энергии поля, определяется выражением:

, (1.14)

причем в последнем интеграле интегрирование ведется по области, занятой зарядом.

Если система объемно распределенных зарядов помещена во внешнее электростатическое поле, то полная энергия системы

W = W₁ + W₂ + W₁₂,

где W₁ и W₂ – собственная энергия системы зарядов и внешнего поля, определяемые выражениями (1.13), (1.14), а W₁₂ – энергия взаимодействия зарядов и поля, равная

. (1.15)

Здесь - плотность заряда системы а j₂(r¢) – потенциал внешнего поля в области, занятой зарядом.

Для системы точечных зарядов энергия взаимодействия

, (1.16)

где j_ik – потенциал поля k-го заряда в точке расположения i-го заряда; j_i - потенциал, создаваемый всеми зарядами системы кроме i-го в точке расположения этого заряда. С учетом (1.9) энергия взаимодействия системы точечных зарядов принимает вид:

. (1.17)

При этом сила, действующая на i-ый заряд, определяется общим выражением:

(1.18)

(индекс i указывает на то, что градиент берется по координатам i-го заряда).

На больших расстояниях от системы зарядов с линейным размером l (r >>r¢, l; начало отсчета совмещается с какой-либо точкой системы, чаще всего – с центром масс) потенциал можно представить в виде суммы мультипольных потенциалов

, (1.19)

получаемых разложением в (1.11) подынтегральной функции 1/R в ряд по степеням малости r¢ . Первые два слагаемые в (1.19)имеют вид:

, (1.20)

. (1.21)

Выражение (1.20) описывает поле точечного заряда, равного полному заряду системы и расположенного в начале координат, а выражение (1.21) определяет дипольный потенциал – поле системы, электрический дипольный момент которой равен:

. (1.22)

Потенциал j₂ называется квадрупольным, j₃ – октупольным и т.д. Важно отметить, что

и т.д.

В общем случае потенциал системы зарядов на большом расстоянии от нее определяется первым не равным нулю мультипольным потенциалом. Особую роль играет поле диполя – как правило, реальные системы зарядов в целом электронейтральны, и их поле определяется дипольным моментом. Потенциалу j_i соответствует напряженность электрического поля диполя

. (1.23)

Электрический диполь во внешнем электрическое поле напряженностью обладает энергией ; при этом на него действует сила и момент силы .

Электростатическое поле в веществе принципиально зависит от структуры вещества – наличия или отсутствия свободных зарядов. Вещество, в котором свободные заряды отсутствуют, является диэлектриком. Существование в диэлектрике связанных зарядов (электронов и ядер в атомах и молекулах, которые под действием электрического поля могут смещаться лишь на микроскопические расстояния) приводит к его поляризации. Количественной характеристикой степени поляризации служит вектор поляризации - электрический дипольный момент единицы объема диэлектрика. Связь между вектором напряженности электрического поля в диэлектрике индукцией электрического поля и вектором поляризации устанавливается соотношением

. (1.24)

В однородной и изотропной среде и в слабых полях вектор поляризации пропорционален напряженности электрического поля:

, (1.25)

где k - диэлектрическая восприимчивость.

Объединение (1.24) и (1.25) приводит к материальному уравнению

. (1.26)

На границе раздела двух диэлектриков граничные условия

дополняются граничным условием для вектора поляризации

, (1.27)

где s¢ - поверхностная плотность связанных зарядов.

В отличие от диэлектриков, в проводниках существуют свободные заряды, которые под действием поля могут перемещаться на макроскопические расстояния и полностью экранировать электростатическое поле. Макроскопической характеристикой способности свободных зарядов перемещаться является электропроводность g, связанная с напряженностью электрического поля законом Ома (5). Т.к. электростатическое поле связано с неподвижными зарядами ( ) и g ¹ 0, то в проводниках электростатическое поле отсутствует. Кроме того, из уравнения следует, что в проводниках отсутствуют и объемные заряды. Другими словами, вне зависимости от того, заряжен проводник или не заряжен, но помещен в электростатическое поле, в его объеме заряды отсутствуют – сообщенный или наведенный заряды распределяются по поверхности. При этом весь объем и поверхность проводника эквипотенциальны. Вблизи поверхности проводника напряженность электрического поля перпендикулярна его поверхности:

, (1.28)

где - внешняя нормаль к поверхности проводника, s - поверхностная плотность заряда, а e - диэлектрическая проницаемость окружающей среды.

Энергия проводника, заряженного зарядом q до потенциала j , равна:

. (1.29)

Энергия системы заряженных проводников может быть представлена в виде:

. (1.30)

Здесь j_k – потенциал, создаваемый всеми проводниками системы на k-том проводнике.

Потенциал i-го заряда системы заряженных проводников является линейной функцией зарядов проводников:

, (1.31)

Коэффициенты a_ik = a_ki зависят от взаимного расположения, формы и геометрических размеров проводников, а также от диэлектрической проницаемости окружающей среды и называются потенциальными коэффициентами. Соответственно, заряды проводников также являются линейными функциями их потенциалов, т.е.:

. (1.32)

Величины С_ik называются емкостными коэффициентами, причем матрица коэффициентов C_ik является обратной матрице коэффициентов a_ik. Коэффициенты C_ii > 0 (собственные емкости), C_ik = C_ki < 0 (коэффициенты взаимной емкости). Для уединенного проводника , для системы из двух проводников (конденсатора), заряженных одинаковыми по величине и противоположными по знаку зарядами q, величина называется емкостью конденсатора (U – напряжение на конденсаторе). Введение емкостных коэффициентов позволяет записать выражение для энергии системы проводников в виде:

. (1.33)

На заряженный проводник или незаряженный, но помещенный во внешнее электрическое поле, со стороны поля действуют силы, растягивающие этот проводник. Сила, действующая на единицу поверхности, перпендикулярна этой поверхности и равна

. (1.33)