Решение задач методом конечных разностей

Метод конечных элементов (МКЭ) — численный метод решения дифференциальных уравнений с частными производными, а также интегральных уравнений, возникающих при решении задач прикладной физики. Метод широко используется для решения задач механики деформируемого твёрдого тела (сопромата), теплообмена, гидродинамики и электродинамики.

, (1)

При начальном условии (2)

При краевых условиях

U(S,t) = (3)

Из уравнений (3) мы видим, что данная область 0 ≤S; 0≤t≤T заменим данную область сеткой, в каждом внутреннем узле вычислим значение функции.

В каждом внутреннем узле сетки значение функции будет определять из конечно-разностного уравнения. Для этого диф-е уравнение аппроксимирует следующим образом:

Примем

(4)

Уравнение (4) называется явной схемой. Данная система является устойчивой при

Рассмотрим вариант не явной схемы:

3. Решение краевой задачи методом Фурье:

Метод разделения переменных или метод Фурье, является одним из наиболее распространенных методов решения уравнений с частными производными. Изложение этого метода мы проведем для задачи о колебаниях струны, закрепленной на концах.

Итак, будем искать решение уравнения

,

(1)

удовлетворяющее однородным граничным условиям

U(0, t) = U(l, t) = 0

(2)

и начальным условиям

.

(3)

Уравнение (1) линейно и однородно, поэтому сумма частных решений также является решением этого уравнения. Будем искать решение уравнения в виде

,

(4)

где X(x)- функция только переменного ,

T(t)- функция только переменного .

Подставим (4) в уравнение (1), получим:

.

(5)

Чтобы функция (4) была решением уравнения (1), равенство (5) должно удовлетворяться тождественно, то есть для всех значений независимых переменных , . Правая часть равенства (5) является функцией только переменного x, а левая- только .

Фиксируя, например, некоторое значение х и меняя t (или наоборот), получим, что правая и левая части (5) при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение, то есть

.

(6)

Из соотношения (6) получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для определения функций X(x) и T(t) .

(7) (8)

Граничные условия (2) дают:

.

Отсюда следует, что функция X(x) должна удовлетворять дополнительным условиям

X(0) =X(l) =0,

(9)

так как иначе мы имели бы T(t)≡0 и U(x, t)≡0, в то время как задача состоит в нахождении нетривиального решения.

Таким образом, в связи с нахождением функции X(x) мы приходим к простейшей задаче о собственных значениях: найти такие значения параметра λ, при которых существуют нетривиальные решения задачи:

(10)

а также найти эти решения. Такие значения параметра называются собственными значениями, а соответствующие им нетривиальные решения – собственными функциями задачи (10).

Итак, найдем знак :

1 случай , например, .
Запишем характеристическое уравнение для (10):

.

Общее решение уравнения может быть записано в виде
.

Граничные условия дают:
,
то есть и .
Но в рассмотренном случае - действительно и положительно, так что .
Поэтому , и, следовательно, , а мы ищем нетривиальное решение.

2 случай Пусть .

При также не существует нетривиальных решений. Действительно, в этом случае общее решение уравнения (7) имеет вид
.
Граничные условия дают:

то есть A=0 и B=0 и, следовательно, .

3 случай , например .

Характеристическое уравнение имеет вид

.

Общее решение уравнения:
.

Граничные условия дают:
.
Если , то . Поэтому

, где n- любое целое число. Обозначим p через ,

.

- нетривиальное решение задачи (10),

(11)

определяемое с точностью до произвольного множителя, который мы положили равным единице. Этим же значениям соответствуют решения уравнения (8).

,

(12)

где и - произвольные постоянные.

Возвращаясь к задаче (1) – (3), заключаем, что функции
являются частными решениями уравнения (1), удовлетворяющими граничным условиям (3) и представимыми в виде произведения (4) двух функций.

Обратимся к решению в общем случае. В силу линейности и однородности уравнения (1) сумма частных решений

(13)

также удовлетворяет этому уравнению и граничным условиям (2).

Начальные условия позволяют определить и . Потребуем, чтобы функция (13) удовлетворяла условиям (3):

.

(14)

Если функции и удовлетворяют условиям разложения в ряд Фурье, то

.

(15)

Подставив (15) в (13), мы удовлетворим краевым условиям и получим решение уравнения.