Об’єднання множин і його закони

Перетин (переріз) множин і його закони.

Нехай дані дві множини:

А={2, 4, 6, 8} та В={5, 6, 7, 8, 9}.

Утворимо множину С, в яку включимо спільні елементи множин А та В: С = {6, 8}. Так, отриману множину С називають перерізом множин А та В.

Означення.Перерізом множин А і В називається множина, яка містить тільки такі елементи, які належать множині А та множині В.

Переріз множин А і В позначають АÇВ. Якщо зобразити множину А і В за допомогою кругів Ейлера, то переріз даних множин зобразиться заштрихованою областю.

У випадку, коли множини А і В не мають спільних елементів, говорять, що їх перетин пустий (не перетинаються): АÇВ=Æ

Визначення перерізу множин:

Якщо елементи множин А і В перелічені, то щоб знайти АÇВ, достатньо перерахувати елементи, які належать А і В, тобто їх спільні елементи.

А як бути, якщо множини задані за допомогою характеристичних властивостей перерізаних за допомогою сполучника «і».

Найдемо, наприклад, переріз множини А – парних натуральних чисел та множини В – двозначних натуральних чисел. Характеристична властивість елементів множини А – «бути парним натуральним числом», характеристична властивість елементів множини В – «бути двозначним натуральним числом». Тоді, згідно визначенню, елементи перерізу даних множин повинні мати властивість «бути парним та двозначним натуральним числом». Таким чином, множина АÇВ складається з парних двозначних чисел. Отримана множина не пуста, так як, наприклад, 24ÎАÇВ, оскільки число 24 парне та двохзначне.

Вияснимо тепер, що представляє собою переріз множини А – парних натуральних чисел та множина В – натуральних чисел, кратних 4. Дані множини безкінечні, та множина В – підмножина множини А. Тому, елементами, які належать множині А та множині В, будуть елементи множини В. Тобто, АÇВ=В

Закони операції перетину

1. Переставний (комутативний) закон

Для будь яких різних множин А і В справджується рівність

АÇВ= ВÇА

А В В А

2. Сполучний (асоціативний) закон

(АÇВ) С = АÇ(ВÇС)

3. Розподільний (дистрибутивний) закон відносно операції перетину

(А В)ÈС = (АÈС) (ВÈС)

Об’єднання множин і його закони

Для того, щоб пояснити школяру, що 2+3 – це 5, вчитель бере 2 червоних кружечки та 3 синіх. Просить перерахувати ці кружечки., потім пропонує до червоних кружечків придвинути сині (тобто, об’єднати дві сукупності, дві множини) та перерахувати всі кружечки отриманої сукупності. Виясняється, що їх 5, тобто 2+3=5. Таким чином, об’єднання чисел, опирається на операцію об’єднання двох множин.

В наведеному прикладі об’єднувалися множини, які не мають спільних елементів. У математиці приходить виконувати об’єднання і пересікаючихся множин.