Векторлар жүйесінің базисі және ранг.

а₁,а₂,....,а_к –векторлар жүйесін қарастырайық.Жекелеп жиналған векторлар жүйесі және мынадай екі жағдайды қанаңаттандыратын:а) жиындардың векторлары сызықты тәуелсіз;б) жүйенің кез келген векторы осы жиындағы векторлрмен сызықты өрнектелетін векторлар осы жүйелердің максималь тәуелсіз қосымша жүйесі деп аталады.

Берілген векторлар жүйесінің барлық максимальды тәуелсіз қосымша жүйелері бір векторлар санын құрайды деп бекітілген теорема нақты. Векторлар жүйесінің максимальды тәуелсіз қосымша жүйедегі векторлар базистік деп, ал базиске кірген векторлар базистік векторлар деп аталады.Векторлар жүйесінің базистік векторларының саны олардың рангі делінеді.

Мысалға, мына векторлар жүйесінің:

А₁=( а₁₁,а₁₂,.. ..,а_1n)

А₂=( а₂₁,а₂₂,.. ..,а_2n)

..............................

А_m=( а_m1,а_m2,.. ..,а_mn)

рангі деп осы жүйедегі сызықты тәуелсіз векторлардың максимальды санын айтады. Векторлар жүйесінің рангі А матрицасының, осы жүйесінің векторларының компоненттерінен құралған рангіне, яғни А матрицасының минорының нөлден басқа ең жоғары ретіне тең.

Мысал. Мына векторлар А₁=( 5,4,3,2), А₂=( 3,3,2,2), А₃=( 8,1,3,-4) жүйесі сызықты тәуелді ме? Егер сызықты тәуелді болса, онда оныңмаксимальды сызықты тәуелсіз қосымша жүйесін анықтау керек.

Шешуі. Векторлардың компоненттері арқылы матрица құрып, оның рангін анықтайық.

А=[5 4 3 2

3 3 2 2

8 1 3 -4]

Екінші ретті минор:[5 4

3 3]

Үшінші ретті екі минорды есептейік:

[5 4 3 [5 4 2

3 3 2 3 3 2

8 1 3 ]=118-118=0; 8 1-4]=2(59-59)=0.

А матрицасының рангі 2-ге тең, сондықтан векторлар жүйесі тәуелді. Себебі, векторлар жүйесінің кез келген компоненттері арқылы құрылған екінші ретті минорлар нөлге тең емес.

Сондықтан максимальды сызықты тәуелсіз қосымша жүйе екі кез келген векторлардан тұрады, ал үшінші вектор олардың сызықтық комбинациялары.

Базис туралы түсінік n өлшемді векторлардың шексіз жиынтықтарынан тұратын кеңістіктегі Rⁿ –де бөлініп-ажырайды.

3-анықтама. n векторлар жүйесіRⁿ кеңістікте базис деп аталады ,егер

1.осы жұйенің векторлары сызықты тәуелсіз болса

2.Rⁿ-ң кез келген векторы осы жүйенің векторларымен сызықты өрнектелсе.

Кез келген базисте векторларды бейнелеу.

Айталық

а₁,а₂,....,а_m (1.9)

векторлар жүйесі базистік, ал b олардың сызықтық комбинациясы болсын. Онда мына теорема орынды.

2 – теорема.Базисте кез келген векторды бөліп-ажырату мүмкін болса және осындай әрекет нақтылы орындалса, онда ол жалғыз ғана.

Дәлелдеу.Вектор b, (1.9) өрнектегі векторлардың сызықтық комбинациялвры арқылы екі тәсілмен берілсін.

b=α₁a+ α₂a₂+…..+ α_ma_m және b=β₁a+ β₂a₂+…..+ β_ma_m

мұндағы α_i және β_i - бір-біріне дәл келмейтін сандар жиыны.Бұл жиындарда міндетті түрде бір-біріне дәл келмейтін нөлге тең емес сандар болуға тиісті.

Біріншісінен екінші теңдікті алып тастап мынадай өрнекті алайық.

(α_{1 +} β₂)* α₁+(α_{2 -} β₂)* α_2+.........+(α_m– β_m)* α_m=0

Алынған теңдік (1.9) өрнектегі векторлар жүйесінің сызықтық комбинациялары. Онда коэффициенттердің барлығы бірдей нөлге тең емес.(себебі α_i және β_i - бір-біріне дәл келмейді).Теңдік нөлге тең, яғни берілген жүйе сызықты тәуелді болып шықты. Бұл жағдай теореманың шартына қарсы.Сөйтіп алынған қайшылық теореманың нақтылығын дәлелдейді.

Сонымен Rⁿ кеңістікте кез келген базисте

а₁,а₂,....,а_n (1.10)

осы кеңістіктің кез келген векторын мына түрде бөліп – ажырату арқылы бейнелеуге болады.

b=α₁a+ α₂a₂+…..+ α_na_n (1.11)

және бұл бөліп- ажырату берілген базис үшін жалғыз ғана.

Бөліп- ажырату коэффициенттері а₁,а₂,....,а_n b-векторының (1.10) базистегі координаттары деп аталады және жоғарыда айтылғандай біл жиын Rⁿ-ң кез келген векторлары үшін жалғыз ғана.

Жалпы айтқанда, (1.10) –ды кез келген базисінде бөліп- ажырату коэффициенттерін табу есебі оңай емес. Сол жақтан бастап сызықты комбинациялау векторларының координаттарын b-векторының (1.11) координаттарымен теңестіру керек. Базистік векторлармен b-векторының координаттары мынадай қалыпта берілсін

а₁=( а₁₁,а₁₂,.. ..,а_1n)

а₂=( а₂₁,а₂₂,.. ..,а_2n)

..............................

a_n=( а_n1,а_n2,.. ..,а_nn)

b=( b₁,b₂,.. ..,b_n)

Жоғарыда жазылған тәсілдермен белгісіз n координаттар бойынша b-векторды (1.10) базиске бөліп- ажырату барысында n сызықтық теңдеулер жүйесіне өтеміз

а₁₁а₁+а₁₂а₂+…+а_1nа_n=b₁

а₂₁а₁+а₂₂а₂+…+а_2nа_n=b₂

… … …

А_n1а₁+а_n2а₂+…+а_nnа_n=b_n

Мұндай теңдеулер жүйесі және оларды шешу әдістері арнайы пәнде, яғни векторлық алгебрада кеңірек қарастырылады. Келесі бөлімдерде қарастырылатын қолданбалы математикалық әдістерге оларды онша қажеті болмағандықтан әрі қарай векторлық алгебраның бұл бөлімдеріне тоқталмаймыз.