Постановка крайових задач для рівнянь еліптичного типу

До рівнянь еліптичного типу приводить вивчення стаціонарних процесів різної фізичної природи (теплопровідність, дифузія, рівновага та інші). Одним із простіших рівнянь еліптичного типу є рівняння Лапласа

Постановка крайових задач для рівнянь еліптичного типу - student2.ru

Визначення. Функція Постановка крайових задач для рівнянь еліптичного типу - student2.ruназивається гармонічною в обмеженій області D, якщо вона в цій області двічі неперервно-диференційовна по всіх арґументах і справджує рівняння Лапласа.

Функція Постановка крайових задач для рівнянь еліптичного типу - student2.ruназивається гармонічною в нескінченій області D*, якщо в кожній точці цієї області, що знаходиться на скінченій віддалі від початку координат, функція двічі неперервно-диференційовна по всіх арґументах, справджує рівняння Лапласа і для досить великих Постановка крайових задач для рівнянь еліптичного типу - student2.ru має місце нерівність (умова реґулярності на нескінченості)

Постановка крайових задач для рівнянь еліптичного типу - student2.ru

У випадку двовимірного простору умова реґулярності на нескінченості набуває вигляду Постановка крайових задач для рівнянь еліптичного типу - student2.ru С=соnst, тобто є умовою обмеженості функції для досить великих Постановка крайових задач для рівнянь еліптичного типу - student2.ru

Рівняння Постановка крайових задач для рівнянь еліптичного типу - student2.ruназивається рівнянням Пуассона.

Теорема 1 (принцип мінімакса для гармонічних функцій). Гармонічна в обмеженій області Dі неперервна в замиканні Постановка крайових задач для рівнянь еліптичного типу - student2.ru функція Постановка крайових задач для рівнянь еліптичного типу - student2.ruдосягає свого найбільшого і найменшого значення на границі Постановка крайових задач для рівнянь еліптичного типу - student2.ru області D.

Наведемо постановку основних крайових задач для рівняння Лапласа.

1. Внутрішня (зовнішня) задача Діріхле: знайти гармонічну в D(D*) і неперервну в Постановка крайових задач для рівнянь еліптичного типу - student2.ru(Постановка крайових задач для рівнянь еліптичного типу - student2.ru *) функцію Постановка крайових задач для рівнянь еліптичного типу - student2.ru, яка на границі Постановка крайових задач для рівнянь еліптичного типу - student2.ru області набуває заданих значень: Постановка крайових задач для рівнянь еліптичного типу - student2.ru де Постановка крайових задач для рівнянь еліптичного типу - student2.ru – задана неперервна на Постановка крайових задач для рівнянь еліптичного типу - student2.ru функція.

2. Внутрішня (зовнішня) задача Неймана: знайти гармонічну в D(D*) і неперервну разом із частинними похідними першого порядку в Постановка крайових задач для рівнянь еліптичного типу - student2.ru(Постановка крайових задач для рівнянь еліптичного типу - student2.ru *) функцію Постановка крайових задач для рівнянь еліптичного типу - student2.ru, яка на границі Постановка крайових задач для рівнянь еліптичного типу - student2.ru області справджує умову

Постановка крайових задач для рівнянь еліптичного типу - student2.ru

- 44 -

де Постановка крайових задач для рівнянь еліптичного типу - student2.ru – зовнішня нормаль до Постановка крайових задач для рівнянь еліптичного типу - student2.ru , а Постановка крайових задач для рівнянь еліптичного типу - student2.ru – задана неперервна на Постановка крайових задач для рівнянь еліптичного типу - student2.ru функція, яка для коректності постановки задачі повинна справджувати умову

Постановка крайових задач для рівнянь еліптичного типу - student2.ru

( умова стаціонарності теплового поля).

3. Третя внутрішня (зовнішня) крайова задача: знайти гармонічну в D(D*) і неперервну разом із частинними похідними першого порядку в Постановка крайових задач для рівнянь еліптичного типу - student2.ru(Постановка крайових задач для рівнянь еліптичного типу - student2.ru *) функцію Постановка крайових задач для рівнянь еліптичного типу - student2.ru, яка на границі Постановка крайових задач для рівнянь еліптичного типу - student2.ru області справджує умову

Постановка крайових задач для рівнянь еліптичного типу - student2.ru

де Постановка крайових задач для рівнянь еліптичного типу - student2.ru і Постановка крайових задач для рівнянь еліптичного типу - student2.ru – задані неперервні на Постановка крайових задач для рівнянь еліптичного типу - student2.ru функції.

Аналоґічно ставляться крайові задачі і для рівняння Пуассона.

Теорема 2. Як внутрішня, так і зовнішня задачі Діріхле для рівняння Пуассона мають не більш ніж один розв’язок у розглядуваній області (тобто: якщо розв’язок задачі Діріхле існує, то він є єдиним).

Теорема 3. У двовимірному просторі довільні два розв’язки задачі Неймана (внутрішньої чи зовнішньої), які мають неперервні аж до Постановка крайових задач для рівнянь еліптичного типу - student2.ru частинні похідні першого порядку, відрізняються на сталий доданок.

Зауваження. У випадку трьох і більше незалежних змінних твердження теореми 2 справджується для внутрішньої задачі Неймана. Розв’язок зовнішньої задачі Неймана є єдиним.

Окрім сформульованих трьох основних крайових задач для рівнянь еліптичного типу, на практиці зустрічаються складніші задачі з крайовими умовами різного роду на частинах границі Постановка крайових задач для рівнянь еліптичного типу - student2.ru .

Наши рекомендации