Кольцо многочленов от одной переменной над полем. Приводимые и неприводимые многочлены над полем. Теорема о разложении многочлена в произведение неприводимых многочленов надполем

Вопросы.1. Алгебраическое поле. 2. Кольцо многочленов от одной переменной над полем. 3. Степень многочлена. Свойства степеней многочленов. 4. Определение делимости многочленов нацело и с остатком. 5. Определение ассоциированных многочленов. 6. Определения приводимых и неприводимых многочленов. 7. Свойства неприводимых многочленов. 8. Определение нормированного многочлена. 9. Основная теорема о неприводимых многочленах.

Пусть - поле с единицей 1. Нуль этого поля будем обозначать 0, элементы, противоположный и обратный к элементу , соответственно символами и .

Кольцо многочленов от одной переменной с коэффициентами из поля обозначается . Многочлен можно записать в стандартном виде: . Элементы из кольца являются многочленами, которые называют константами. Если (старший коэффициент), то многочлен имеет степень , которая обозначается . Степень константы, отличной от нуля, равна 0.

Степени многочленов обладают свойствами:

;

для любых многочленов .

Определение. Многочлен делится на многочлен в кольце , если найдется многочлен в этом кольце, что . Многочлен называется частным от деления.

Делимость многочлена на многочлен обозначается: .

Определение. Многочлен делится на многочлен в кольце с остатком, если найдутся многочлены и в этом кольце такие, что , причем .

Разделить один многочлен на другой можно «уголком».

Определение. Многочлены называются ассоциированными, если выполняются условия: и .

Из определения следует, что если многочлены и ассоциированы, то для некоторого ненулевого элемента .

Определение. Многочлен , отличный от константы, называется неприводимым, если его делителями являются только константы и многочлены, ассоциированные с ним, в противном случае – приводимым.

Также используются следующее выражение: многочлен неприводим (приводим) над полем .

Свойства неприводимых многочленов над полем:

1) Если - многочлен первой степени, то он является неприводимым.

2) Если и - неприводимые многочлены и , то для некоторого ненулевого элемента .

3) Если - неприводимый многочлен и , то либо , любо многочлены и являются взаимно простыми.

4) Если - неприводимый многочлен и , то и многочлен является неприводимым.

5) Если - неприводимый многочлен, и , то хотя бы один из многочленов делится на многочлен .

Определение. Многочлен называется нормированным, если .

Следующая теорема называется основной теоремой о неприводимых многочленах.

Теорема. Любой многочлен, рассматриваемый над полем и отличный от константы, разлагается в произведение константы, отличной от нуля, и неприводимых нормированных многочленов, причем это разложение единственно с точностью до порядка следования множителей.