Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени

Понятие простейшего потока событий.

Пусть имеется некоторая физическая система S, которая с течением времени меняет своё состояние, причем заранее неизвестном, случайным образом. Будем говорить, что в системе S протекает случайный процесс. Под « физической системой » можно понимать что угодно: техническое устройство, предприятие, живой организм, популяцию и т. д.

Случайный процесс, протекающий в системе, называется марковским, если для любого момента времени t0 вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент t0 и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.

Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru

Если процесс марковский, то предсказывать можно учитывая настоящее состояние системы S0и забыв о поведении системы при Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru .Само состояние S0, разумеется, зависит от прошлого, но как только оно достигнуто, о прошлом можно забыть. В марковском процессе « будущее зависит от прошлого только через настоящее ».

Пример марковского процесса: система S – счётчик Гейгера, на который время от времени попадают космические частицы.

В математическом моделировании систем и процессов большое значение имеют так называемые марковские случайные процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем.

Процесс называется процессом с дискретными состояниями, если его возможные состояния S1, S2, S3,∙∙∙, Sn можно перечислить и переход системы из одного состояния в другое состояние происходит « скачком », мгновенно.

Процесс называется процессом с непрерывным временем, если моменты возможных переходов системы из одного состояния в другое не фиксированы, а неопределенны, случайны, переход может быть в любой момент времени.

Пример такого процесса: техническое устройство S состоит из двух узлов, каждый из которых в случайные моменты времени может выйти из строя, после чего мгновенно начинается ремонт узла, тоже продолжающийся заранее неизвестное случайное время. Возможные состояния системы можно перечислить:

S0 – оба узла исправны,

S1 –первый узел ремонтируется, второй исправен,

S2 – второй узел ремонтируется, первый исправен,

S3 – оба узла ремонтируются.

Построим граф состояний для рассматриваемого примера.

Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru

Стрелка из S0вS1означает переход в момент отказа первого узла; стрелка, направленная обратно, из S1 в S0 означает переход в момент окончания ремонта первого узла. Остальные стрелки объясняются аналогично.

Потоки событий.

Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени.

Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru

Например: поток вызовов на телефонную станцию; поток железнодорожных составов; поток частиц, попадающих на счётчик Гейгера; и т, д. Важнейшей характеристикой потока событий является его интенсивность Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru - среднее число событий, приходящихся на единицу времени.

Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени. В частности, интенсивность потока Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru должна быть постоянной. На один промежуток времени может попасть больше событий, а на другой – меньше, но среднее число событий, приходящихся на единицу времени постоянно. Стационарность означает, что вероятность появления событий за время Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru зависит лишь от длины интервала Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ruи не зависит от точки t отсчёта этого интервала.

Поток событий называется потоком без последействия ( отсутствие последействия ),если поступление заявки после момента времениt не зависит от того, когда и в каком количестве появлялись заявки до момента t.

То есть события появляются независимо друг от друга.

Поток событий называется ординарным, если события в нём появляются по одиночке, а не группами. Это условие означает, что одновременное появление двух и более событий маловероятно.

Поток событий называется простейшим ( или стационарным пуассоновским ), если он обладает сразу тремя свойствами: стационарен, ординарен и не имеет последействия. Название « простейший » связано с тем, что этот поток имеет наиболее простое математическое описание.

Можно показать, что для п р о с т е ш е г о потока вероятность Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru появления ровно kсобытий за промежуток времениt вычисляется по формуле:

Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru , ( 1 )

т.е. вероятности Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru распределены по закону Пуассона с параметром Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru .

Эта формула отражает все свойства простейшего потока.

. Положив k=0 и k=1, можем вычислить вероятности не появления и появления одного события:

Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru , Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru .

Пример №1На АТС поступает простейший поток вызовов. Среднее количество вызовов в течение часа равно m=72. Найти вероятности того, что за t=2 минутам: а) не придет ни одного вызова; б) придет хотя бы один вызов; в) придет не менее k=4 вызовов.

Решение.Так как поток простейший, то вероятность Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru появления ровно kсобытий за промежуток времениt вычисляется по формуле Пуассона: Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru с параметром Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru , где 𝞴 – интенсивность потока (среднее число вызовов, приходящихся на единицу времени). В нашей задаче Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru вызова в минуту. Параметр Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru .

а) Найдем вероятность того, что за t=2 минутам не придет ни одного вызова. Для этого в формуле Пуассона надо положить k=0, получим Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru , так как (0)!=1 и Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru . Тогда вероятность того, что за t=2 минутам не будет ни одного вызова равна Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru . Далее вычисление выполняем с помощью таблицы значений Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru .

Итак, вероятность того, что за t=2 минутам не придет ни одного вызова Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru .

б) Найдем вероятность того, что за t=2 минутам придет хотя бы один вызов. Вероятность появления одного или более одного вызова вычислим через вероятность противоположного события (не придет ни одного вызова):

Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru

Подставив в эту формулу t=2 и Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru , получим
Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru .

Итак, вероятность того, что за t=2 минутам придет хотя бы один вызов
Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru .

в) Найти вероятности того, что за t=2 минутам придет не менее k=4 вызовов. . Вероятность появления четырех и более четырех вызовов за время t вычислим также как вероятность противоположного события:

Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru .

Вычислим Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru , Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru , Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru .

Тогда Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru .

Вероятность появления четырех и более четырех вызовов за время t=2

Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru

Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru

= Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru .

Итак, вероятность того, что за t=2 минутам придет не менее k=4 вызовов Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru .

Пример №1 решен.

Интервал времени между поступлениями двух последовательных событий является случайной величиной. Обозначим эту случайную величину через T( Т=tj+1-tj ).

Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru

Найдем функцию распределения случайной величины T

Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru ,

где Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru - вероятность того, что случайная величина Т примет значение, меньшее, чем t ; Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru -вероятность противоположного события ( т.е. за время t не появилось ни одного события ). Согласно закону Пуассона ( 1 ) имеем

Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru , ( 0!=1; t > 0 )

откуда

Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru , ( t > 0 ). ( 2 )

Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru

Найдем плотность распределения случайной величины Т

Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru ( t > 0 ) ( 3 )

Можно показать, что математическое ожидание и дисперсия случайной величины Т имеют значения:

Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru ( 4 )

Таким образом, для простейшего потока с интенсивностью Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru интервал времени Т между соседними событиями имеет так называемое показательное распределение с плотностью Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru .

Показательным распределением описываются случайные величины в многочисленных задачах железнодорожного транспорта, элекротехники, радиосвязи, в теориях надежности, массового обслуживания, случайных процессов, например, время между прибытием поездов на сортировочные станции и отправления ми поездов со станций, время расформирования и формирования поездов, осмотра поездов бригадами техобслуживания, время ожидания в очереди, длительность телефонного разговора, время безотказной работы технического устройства и др.

Зная функцию Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru , можно найти вероятность Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru . Так как сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru ,

то Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru .

Итак, вероятность того, что случайная величина Т примет значение не меньшее t, вычисляется по формуле: Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru .

Чтобы найти вероятность Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru события, состоявшего в том, что случайная величина наблюдается на интервале от Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru до Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru , воспользуемся свойством функции распределения вероятностей:

Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru .

В расчётах, связанных с потоками событий, очень удобно пользоваться понятием « элемент вероятности ». Рассмотрим на оси ot простейший поток событий с интенсивностью Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru и произвольно расположенный элементарный ( очень маленький ) участок времени Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru . Элементом вероятности называется вероятность попадания на участок Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru хотя бы одного события потока. С точностью до бесконечно малых величин по сравнению с Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru элемент вероятности равен

Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени - student2.ru , ( 5 )

т. е. элемент вероятности равен интенсивности потока, умноженной на длину элементарного участка времени.

Наши рекомендации