Где – множественный коэффициент детерминации всех факторов с результатом; – тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора

При двух факторах формула (2.18) примет вид:

Где – множественный коэффициент детерминации всех факторов с результатом; – тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора - student2.ru ; Где – множественный коэффициент детерминации всех факторов с результатом; – тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора - student2.ru . (2.18а)

Порядок частного коэффициента корреляции определяется количеством факторов, влияние которых исключается. Например, Где – множественный коэффициент детерминации всех факторов с результатом; – тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора - student2.ru – коэффициент частной корреляции первого порядка. Соответственно коэффициенты парной корреляции называются коэффициентами нулевого порядка. Коэффициенты частной корреляции более высоких порядков можно определить через коэффициенты частной корреляции более низких порядков по рекуррентной формуле:

Где – множественный коэффициент детерминации всех факторов с результатом; – тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора - student2.ru .(2.19)

При двух факторах данная формула примет вид:

Где – множественный коэффициент детерминации всех факторов с результатом; – тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора - student2.ru ; Где – множественный коэффициент детерминации всех факторов с результатом; – тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора - student2.ru . (2.19а)

Для уравнения регрессии с тремя факторами частные коэффициенты корреляции второго порядка определяются на основе частных коэффициентов корреляции первого порядка. Так, по уравнению Где – множественный коэффициент детерминации всех факторов с результатом; – тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора - student2.ru возможно исчисление трех частных коэффициентов корреляции второго порядка:

Где – множественный коэффициент детерминации всех факторов с результатом; – тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора - student2.ru , Где – множественный коэффициент детерминации всех факторов с результатом; – тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора - student2.ru , Где – множественный коэффициент детерминации всех факторов с результатом; – тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора - student2.ru ,

каждый из которых определяется по рекуррентной формуле. Например, при Где – множественный коэффициент детерминации всех факторов с результатом; – тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора - student2.ru имеем формулу для расчета Где – множественный коэффициент детерминации всех факторов с результатом; – тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора - student2.ru :

Где – множественный коэффициент детерминации всех факторов с результатом; – тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора - student2.ru . (2.20)

Рассчитанные по рекуррентной формуле частные коэффициенты корреляции изменяются в пределах от –1 до +1, а по формулам через множественные коэффициенты детерминации – от 0 до 1. Сравнение их друг с другом позволяет ранжировать факторы по тесноте их связи с результатом. Частные коэффициенты корреляции дают меру тесноты связи каждого фактора с результатом в чистом виде. Если из стандартизованного уравнения регрессии Где – множественный коэффициент детерминации всех факторов с результатом; – тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора - student2.ru следует, что Где – множественный коэффициент детерминации всех факторов с результатом; – тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора - student2.ru , т.е. no силе влияния на результат порядок факторов таков: Где – множественный коэффициент детерминации всех факторов с результатом; – тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора - student2.ru , Где – множественный коэффициент детерминации всех факторов с результатом; – тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора - student2.ru , Где – множественный коэффициент детерминации всех факторов с результатом; – тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора - student2.ru , то этот же порядок факторов определяется и по соотношению частных коэффициентов корреляции, Где – множественный коэффициент детерминации всех факторов с результатом; – тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора - student2.ru .

В эконометрике частные коэффициенты корреляции обычно не имеют самостоятельного значения. Их используют на стадии формирования модели. Так, строя многофакторную модель, на первом шаге определяется уравнение регрессии с полным набором факторов и рассчитывается матрица частных коэффициентов корреляции. На втором шаге отбирается фактор с наименьшей и несущественной по -критерию Стьюдента величиной показателя частной корреляции. Исключив его из модели, строится новое уравнение регрессии. Процедура продолжается до тех пор, пока не окажется, что все частные коэффициенты корреляции существенно отличаются от нуля. Если исключен несущественный фактор, то множественные коэффициенты детерминации на двух смежных шагах построения регрессионной модели почти не отличаются друг от друга, , где – число факторов.

Из приведенных выше формул частных коэффициентов корреляции видна связь этих показателей с совокупным коэффициентом корреляции. Зная частные коэффициенты корреляции (последовательно первого, второго и более высокого порядка), можно определить совокупный коэффициент корреляции по формуле:

Где – множественный коэффициент детерминации всех факторов с результатом; – тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора - student2.ru . (2.21)

В частности, для двухфакторного уравнения формула (2.21) принимает вид:

Где – множественный коэффициент детерминации всех факторов с результатом; – тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора - student2.ru . (2.21)

При полной зависимости результативного признака от исследуемых факторов коэффициент совокупного их влияния равен единице. Из единицы вычитается доля остаточной вариации результативного признака , обусловленная последовательно включенными в анализ факторами. В результате подкоренное выражение характеризует совокупное действие всех исследуемых факторов.

Значимость уравнения множественной регрессии в целом, так же как и в парной регрессии, оценивается с помощью Где – множественный коэффициент детерминации всех факторов с результатом; – тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора - student2.ru -критерия Фишера:

Где – множественный коэффициент детерминации всех факторов с результатом; – тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора - student2.ru , (2.22)

Где – факторная сумма квадратов на одну степень свободы; – остаточная сумма квадратов на одну степень свободы; – коэффициент (индекс) множественной детерминации; – число параметров при переменных (в линейной регрессии совпадает с числом включенных в модель факторов); – число наблюдений.

Оценивается значимость не только уравнения в целом, но и фактора, дополнительно включенного в регрессионную модель. Необходимость такой оценки связана с тем, что не каждый фактор, вошедший в модель, может существенно увеличивать долю объясненной вариации результативного признака. Кроме того, при наличии в модели нескольких факторов они могут вводиться в модель в разной последовательности. Ввиду корреляции между факторами значимость одного и того же фактора может быть разной в зависимости от последовательности его введения в модель. Мерой для оценки включения фактора в модель служит частный Где – множественный коэффициент детерминации всех факторов с результатом; – тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора - student2.ru -критерий, т.е. Где – множественный коэффициент детерминации всех факторов с результатом; – тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора - student2.ru .

Частный -критерий построен на сравнении прироста факторной дисперсии, обусловленного влиянием дополнительно включенного фактора, с остаточной дисперсией на одну степень свободы по регрессионной модели в целом. В общем виде для фактора частный -критерий определится как

Где – множественный коэффициент детерминации всех факторов с результатом; – тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора - student2.ru , (2.23)

Где – коэффициент множественной детерминации для модели с полным набором факторов, – тот же показатель, но без включения в модель фактора , – число наблюдений, – число параметров в модели (без свободного члена).

Фактическое значение частного -критерия сравнивается с табличным при уровне значимости и числе степеней свободы: 1 и . Если фактическое значение превышает , то дополнительное включение фактора в модель статистически оправданно и коэффициент чистой регрессии при факторе статистически значим. Если же фактическое значение меньше табличного, то дополнительное включение в модель фактора не увеличивает существенно долю объясненной вариации признака , следовательно, нецелесообразно его включение в модель; коэффициент регрессии при данном факторе в этом случае статистически незначим.

Для двухфакторного уравнения частные Где – множественный коэффициент детерминации всех факторов с результатом; – тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора - student2.ru -критерии имеют вид:

Где – множественный коэффициент детерминации всех факторов с результатом; – тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора - student2.ru , Где – множественный коэффициент детерминации всех факторов с результатом; – тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора - student2.ru . (2.23а)

С помощью частного -критерия можно проверить значимость всех коэффициентов регрессии в предположении, что каждый соответствующий фактор вводился в уравнение множественной регрессии последним.

Частный Где – множественный коэффициент детерминации всех факторов с результатом; – тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора - student2.ru -критерий оценивает значимость коэффициентов чистой регрессии. Зная величину Где – множественный коэффициент детерминации всех факторов с результатом; – тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора - student2.ru , можно определить и Где – множественный коэффициент детерминации всех факторов с результатом; – тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора - student2.ru -критерий для коэффициента регрессии при Где – множественный коэффициент детерминации всех факторов с результатом; – тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора - student2.ru -м факторе, Где – множественный коэффициент детерминации всех факторов с результатом; – тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора - student2.ru , а именно:

Где – множественный коэффициент детерминации всех факторов с результатом; – тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора - student2.ru . (2.24)

Оценка значимости коэффициентов чистой регрессии по Где – множественный коэффициент детерминации всех факторов с результатом; – тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора - student2.ru -критерию Стьюдента может быть проведена и без расчета частных Где – множественный коэффициент детерминации всех факторов с результатом; – тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора - student2.ru -критериев. В этом случае, как и в парной регрессии, для каждого фактора используется формула:

Где – множественный коэффициент детерминации всех факторов с результатом; – тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора - student2.ru , (2.25)

Наши рекомендации