Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов

Гармонический анализ периодических сигналов. Свойства преобразования Фурье

2.1 Гармонический анализ непериодических сигналов.

Гармонический анализ периодических сигналов можно распространить на непериодические сигналы. Пусть такой сигнал Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru задан в виде некоторой функции, отличной от нуля в промежутке Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru .

(рис. 2.1)

Выделив произвольный отрезок времени Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru , включающий в себя промежуток Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru , мы можем представить заданный сигнал в виде ряда Фурье

Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru

(2.1)

где Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru , а коэффициенты Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru в соответствии с формулой (1.14)

Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru

(2.2)

Подставив (2.2) в (2.1), получим

Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru

(2.3)

здесь учтено, что Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru

Вне отрезка Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru ряд (2.1) определяет функцию Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru 0, где Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru - целое число, т.е. периодическую функцию, полученную повторением Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru вправо и влево с периодом Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru . Для того чтобы вне отрезка Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru функция равнялась нулю, величина Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru должна быть бесконечно большой. Но чем больше отрезок Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru , выбранный в качестве периода, тем меньше коэффициенты Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru . Устремляя Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru к бесконечности, в пределе получаем бесконечно малые амплитуды гармонических составляющий, сумма которых изображает исходную непериодическую функцию Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru , заданную в интервале Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru (рис.2.1). Число гармонических составляющих, входящих в ряд Фурье, будет при этом бесконечно большим, т.к. при Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru основная частота функции Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru . Иными словами, расстояние между спектральными линиями, равно основной частоте Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru становится бесконечно малым, а спектр – сплошным.

Поэтому в выражении (2.3) можно заменить Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru на Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru , на текущую частоту Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru , а операции суммирования операцией интегрирования.

Таким образом, приходим к двойному интегралу Фурье

Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru

(2.4)

Внутренний интеграл, являющейся функцией Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru ,

Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru

(2.5)

называется спектральной плотностью или спектральной характеристикой функции Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru .

В случае, когда пределы Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru и Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru не уточнены, спектральная плотность записывается в форме

Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru

(2.6)

После подстановки (2.6) в (2.4) получаем

Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru

(2.7)

Выражения (2.6) (2.7) называются прямым и обратным преобразованием Фурье.

Выражение (2.6) отличается от (1.14) отсутствием множителя Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru . Следовательно, спектральная плотность Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru обладает всеми основными свойствами коэффициентов Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru комплексного ряда Фурье.

По аналогии с (1.15) можно написать

Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru

(2.8)

где

Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru

(2.9)

Модуль и аргумент спектральной плотности определяется выражениями

Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru

(2.10)

Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru

(2.11)

Первое из этих выражений можно рассматривать как АЧХ, а втрое как ФЧК сплошного спектра непериодического сигнала Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru .

На основании (2.8) нетрудно привести интегральные преобразование (2.7) к тригонометрической форме. Имеем, аргумент функции Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru в последующих выражениях опущен:

Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru

Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru

Из четности модуля и нечетности фазы следует, что подинтегральная функция в первом интеграле является четной, а во втором- нечетной относительно Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru . Следовательно, второй интеграл равен нулю и окончательно:

Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru

(2.12)

Отметим, что при Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru выражение (2.5) переходит в следующее:

Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru площадь под кривой Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru .

(2.12)

Следовательно для любого сигнала Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru спектральная плотность Лекция №2. Гармонический анализ периодических сигналов - student2.ru на первой частоте равна “площади сигнала” . Это правило полезно для быстрого выявления структуры спектра некоторых сигналов.

Наши рекомендации