Определение и свойства логарифмов

Формула	Примеры
1) lоgаb = х, означает ах = b (а > 0, а 1), т. е. = b основное логарифмическое тождество	= 3
2) lоgаа = 1, (а > 0)	lоg143143 = 1,
3) lоgр1=0, (р > 0, р 1)	1оg471=0
4) lоg раb = lоgр а + 1оgр b (р > 0, р 1, а > 0, b > 0)	log14 2 + log147 = log14 (2 ·7) = 1оg1414 = 1
5) lоgр = lоgр а - 1оgр b	log3 75 — log3 25 = log3 = log3 3 = 1
6) lоg раn = n lоg ра (а > 0, р > 0, р 1)	log3 243 = log3 35 = 5log3 3 = 5
7) lоg ра = (а > 0, р > 0, р 1, m > 0, m 1)	= log5 125 = log5 53 = 3lоg5 5 = 3
8) log10 а = lg а (а> 0) loge а = ln а (а >0)	lg 1000 = log10 1000 = log10 103 = 3 1n е-5 = loge е-5 = - 5 loge е = -5

Преобразования логарифмических выражений

Пример 1. Найдите значение выражения 5 ∙

Решение. В соответствии с основным логарифмическим тождеством = b получаем:

5 ∙ = 5·12 = 60.

Ответ: 60

Пример 2. Упростите выражение log₃ 15 - 1оg₃5 + 3

Решение. Используя формулу ) lоg_р а - 1оg_р b = lоg_р , основное логарифмическое тождество = b, а затем равенство lоg_аа = 1, получаем:

log₃ 15 - 1оg₃5 + 3 = lоg₃3 + 5 = 1 + 5 = 6.

Ответ: 3.

Пример 3. Вычислите: lоg₃36 - 21оg₃2.

Решение. Первый способ.

lоg₃36 - 21оg₃2 = lоg₃(3² ∙2²) - 2lоg₃2 = lоg₃3² + lоg₃2² - 2lоg₃2 = 2lоg₃3 + 2lоg₃2 - 2lоg₃2 = =2·1 = 2

Второй сgособ.

lоg₃36 - 21оg₃2 = lоg₃36 - 1оg₃2² = lоg_{3 =} lоg₃ 9 = 2

Ответ:2.

Пример 4. Найдите 1оg _0,3 7,5, если 1оg _0,3 5 = а.

Решение. Представим число 7,5 как произведение степеней с основаниями 5 и 0,3:

7,5 = 25 ·0,3 = 5² ∙0,3 Найдем 1оg _0,3 7,5, используя свойства логарифмов

1оg _0,3 7,5 = 1оg _0,3 (5² ∙0,3) = 1оg _0,3 5² +1оg _0,3 0,3 = 21оg _0,3 5 + 1 = 2а + 1

Ответ: 2а + 1.

Логарифмические уравнения

Пример 1. Найдите произведение корней уравнения 1оg _π(х² + 0,1) = 0.

Решение. По определению логарифма получаем х² + 0,1 = π⁰, т. е. х²+0,1 = 1, откуда х² = 0,9.

Итак, х _1,2 = ± , х₁ ·х₂ = - ∙ = - 0,9.

Ответ: - 0,9.

Пример 2. Какому промежутку принадлежит корень уравнения !оg₅(2х) = lоg₅36 — 1оg₅4?

1) [0; 4]; 2) (4; 10); 3) [10; 18]; 4) (18; 24).

Решение. Используя свойство логарифмов, Получаем: lоg₅(2х) = lоg₅ , или lоg₅(2х) = 1оg₅9. Полученное уравнение равносильно уравнению 2х = 9, следовательно, х = 4,5. Т. к.

4,5 (4; 10), верный ответ №2

Ответ: 2.

Пример 3. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1оg _0,4(5 - 2х) - 1оg _0,4 2 = 1.

1) (- ; -2); 2) [-2; 1]; 3) [1; 2]; 4) (2; + ).

Решение. 1оg _0,4(5 - 2х) - 1оg _0,4 2 = lоg _0,4 т. к. lоg _0,4 =1, то = 0,4

= ; 25-10х = 4; -10х = - 21 х = 2,1

Ответ: 4.

Пример 4. Найдите сумму корней уравнения lg(4х — 3) = 2lgх.

Решение. Уравнение lg(4х — 3) = 2lgх равносильно системе

4х - 3 = х²,

х> .

4х - 3 = х² х² - 4х + 3 = 0; х₁ = 1, х₂ = 3; 1 > , 3 > , значит, числа 1 и 3 — корни исходного уравнения; 1 + 3 = 4.

Ответ: 4.

Показательные уравнения

Пример 1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1) (0; 1); 2)(1;2); 3) (2; 3); 4) (3; 4).

Решение. Используя свойство степени (а^х)^у = а^ху, получаем:

Так как = 5^-1, то 5^2(З-х) = 5^-1 Степени с одинаковым основанием равны, значит, равны их показатели: 2(3 - х) = -1; 6 - 2х = -1, - 2х = -7, х = 3,5

Поскольку 3,5 (3; 4), верным является ответ №4.

Ответ: 4.

Пример 2. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

2 ^х-1 + 2 ^х+1 = 20.

1) (4; 5); 2) [3; 4]; 3) (2; 3); 4) [1; 2].

Решение. 2 ^х-1 + 2 ^х+1 = 20; + 2·2^х = 20; 2^х + 4∙2^х = 40; 5 ·2^х = 40; 2^х = 8; х = 3;

х [3;4].

Ответ: 2.

Пример 3. Найдите произведение корней уравнения = 243.

Решение. = 243; = 3⁵; х ² - 1 = 5;

Первый способ	Второй способ
х2=6; х1,2= х1·х2 = = -6	х2 – 6 = 0 х1·х2 = -6 (по теореме Виета)

Ответ: 1

Формулы дифференцирования основных функций (Производные).

1) (хm)´ = m хm-1 2) ( )´ = 3) ´ =   4) (ех)´ = ех   5) (ах)´ = ах1nа   6) (lnx)´ =   7) (lоgх)´ =

8) (sin x)´ = cos x 9) (cos x)´ = - sin x 10) (tg x)´ = sес2 х =   11) (ctg x)´ = - cоsес2х = 12) (arcsin x)´ = 13) (агссоs х)´ = -