Основные законы и уравнения электрических цепей

Схема электрической цепи

Графическое изображение реальной электрической цепи с помощью условных символов и знаков называется электрической схемой.

Такая схема представляет собой идеализированную цепь, которая служит расчетной моделью реальной цепи и иногда называется эквивалентной схемой замещения. Эта схема по возможности должна отражать реальные процессы, происходящие в действительности.

При проведении расчетов каждый реальный элемент цепи заменяется элементами схемы.

В цепях постоянного тока чаще всего используют два основных элемента: источник энергии с Э.Д.С. Е c внутренним сопротивлением r₀ и резистивный элемент (нагрузка) с сопротивлением R. Под внутренним сопротивлением генератора r₀ понимают сопротивление электрическому току всех элементов внутри генератора.

Сопротивление приёмника R характеризует потребление электрической энергии, то есть превращение электрической энергии в другие виды с выделением мощности:

Для проведения анализа электрической цепи важно выделить такие понятия, как ветвь, узел и контур.

Ветвь – участок электрической цепи, образованный последовательно соединёнными элементами и характеризующийся собственным значением тока в данный момент времени.

Узел – это точка соединения трёх и более ветвей (если на электрической схеме в месте пересечения двух линий стоит точка, то в этом месте есть электрическое соединение 2х линий, в противном случае его нет).

Контур – замкнутая часть цепи, состоящая из нескольких ветвей и узлов. Различают такие понятия, как геометрический и потенциальный узел.

На рис. 1.2 приведена схема электрической цепи, содержащей 4 геометрических узла, 3 потенциальных узла и 5 ветвей.

Заземление любой точки схемы означает, что потенциал этой точки принят равным нулю. Токораспределение в такой схеме не изменяется, так как никаких новых ветвей, по которым могли бы протекать токи не образуется. Если же заземлить 2 точки схемы и более, то в этом случае в схеме токораспределение изменится.

Активные элементы

В линейных электрических цепях в качестве источников энергии различают источники Э.Д.С. и источники тока.

Идеальный источник Э.Д.С. имеет неизменное Э.Д.С. и напряжение на выходных зажимах при всех токах нагрузки. У реального источника – Э.Д.С. и напряжение на зажимах изменяются при изменении нагрузки (например, вследствие падения напряжения в обмотках генератора). В электрической схеме это учитывается последовательным включением резистора r₀. Идеальный источник напряжения изображен на рис. 1.3.

Напряжение U_ab зависит от тока приёмника и равно разности между Э.Д.С. генератора и падением напряжения на его внутреннем сопротивлении r₀:

. Ток, протекающий по цепи, также зависит от сопротивления нагрузки:

. Если принять Э.Д.С. источника его внутреннее сопротивление и сопротивление приёмника не зависящими от тока и напряжения, то внешняя характеристика источника энергии U₁₂ = f(I) и ВАХ приёмника U_ab = f(I) будут линейными (рис. 1.4).

По рис. 1.4 видно, что по мере нарастания тока в цепи напряжение на нагрузке возрастает, а, следовательно, уменьшается напряжение на выходных зажимах источника.

Источник тока характеризуется бесконечным внутренним сопротивлением и бесконечным значением Э.Д.С., при этом выполняется равенство:

Если r₀>>R_H и I₀<<I, то есть источник энергии находится в режиме, близком к короткому замыканию, то можно принять ток I₀=0.

Такой источник с внутренним сопротивлением r₀ = ∞ (g₀=0) называют идеальным источником тока

Пассивные элементы

Основными пассивными элементами электрической цепи являются резистивные, индуктивные и емкостные. Рассмотрим их силовые характеристики при постоянном токе.

Электротехническое устройство, обладающее сопротивлением и применяемое для ограничения тока, называется резистором. (рис. 1.9).

Идеализированные модели резисторов называются резистивными элементами (при идеализации пренебрегают токами через изолирующие покрытия резисторов, каркасы проволочных резисторов и т. п.).

Основной величиной, характеризующей резистор, является его сопротивление R, которое определяется из соотношения:

называемого законом Ома. Сопротивление измеряется в Омах: [R] = [U\I] = В\А = Ом. К пассивным элементам относят также и индуктивный элемент - катушку индуктивностью L (Рис. 1.11).

Катушкой называется обмотка изолированного провода, намотанного на каркас или без каркаса, имеющая выводы для присоединения.

L – параметр, который определяет способность катушки создавать магнитное поле. Он зависит от геометрических параметров катушки, числа её витков и от магнитных свойств сердечника, на который намотана катушка.

Из-за появления магнитного поля цепь будет пронизываться магнитным потоком. Для характеристики катушки индуктивности, как элемента электрической цепи достаточно вычислить потокосцеплениеψ. Индуктивность Lявляетсякоэффициентом пропорциональности между ψ и I:

Между двумя любыми проводниками, разделёнными диэлектриком, существует электрическая ёмкость. Коэффициент пропорциональности С называют ёмкостью

;

Основные законы и уравнения электрических цепей

Основными физическими законами, позволяющими описать любые режимы электрической цепи, являются законы Ома.

1. Закон Ома для участка цепи, не содержащего Э.Д.С., устанавливает связь между током и напряжением на этом участке (рис. 1.13)

2. Закон Ома для участка цепи, содержащего источник Э.Д.С.

Обобщённый закон Ома позволяет найти ток этого участка по известной разности потенциалов на концах участка цепи и имеющейся на этом участке Э.Д.С. E.

Имея в виду, что в неразветвлённом участке электрической схемы с произвольным числом Э.Д.С., сопротивлений и заданной разностью потенциалов на его концах, ток направлен от высшего потенциала к низшему.

Если предположить, что , то ток и напряжение будут направлены от точки а к точке с. (рис. 1.14).

Если предположить, что , то ток и напряжение будут направлены от точки с к точке а, напряжение и ток определим по формуле

; ;

Основными уравнениями теории электрических цепей являются уравнения Кирхгофа, поэтому все электрические цепи подчиняются первому и второму законам Кирхгофа.

Второй закон Кирхгофа

Алгебраическая сумма напряжений (не падений напряжений) вдоль любого контура равна нулю

,

Алгебраическая сумма падений напряжений в любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме Э.Д.С. вдоль того же контура:

При составлении уравнений слагаемые берут со знаком плюс, если действующие на участках напряжения и Э.Д.С. совпадают с направлением обхода, и со знаком минус, если их действия противоположны направлению обхода.

При составлении уравнений для расчёта токов в схемах с помощью законов Кирхгофа необходимо придерживаться следующего алгоритма:

1) Произвольно задаются положительные направления токов.

2) Произвольно задаются положительные направления обхода контуров (с целью единообразия рекомендуется для всех контуров положительные направления обхода выбирать одинаковыми, например, по часовой стрелке).

3) Составляют уравнения по первому закону Кирхгофа. Число таких уравнений должно быть на единицу меньше числа узлов.

4) Недостающие уравнения составляют по второму закону Кирхгофа, при этом учитывают, чтобы в каждый новый контур входила, хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в предыдущие контуры, для которых записаны уравнения.

5)Решая полученную систему уравнений, находим неизвестные токи. Если какой - то ток или несколько токов, оказались отрицательными, то это значит, что действительное направление этих токов противоположно выбранному.

Первый закон Кирхгофа

Алгебраическая сумма токов, подтекающих к любому узлу схемы, равна нулю:

(Подтекающие к узлу токи считаются положительными, а утекающие – отрицательными).

Сумма подтекающих к любому узлу токов равна сумме утекающих от узла токов:

Метод контурных токов

Расчет методом контурных токов, так как он позволяет сократить число уравнений. При расчёте этим методом полагают, что в каждом независимом контуре схемы течёт свой контурный ток. Уравнения составляют относительно контурных токов, после чего через них определяют токи ветвей.

Если в схеме три контура, то систему уравнений для решения методом контурных токов записывают следующим образом:

В данной системе , , - суммы сопротивлений первого, второго и третьего контуров соответственно:

Сопротивления смежных ветвей , , , , , берут со знаком минус, так как направление контурных токов во всех ветвях встречное (если они по направлению совпадают, то смежное сопротивление берётся со знаком плюс).

- контурные Э.Д.С. первого, второго и третьего контуров. В них со знаком плюс входят Э.Д.С., направления которых совпадают с направлением обхода контура, минус – Э.Д.С., направленная против направления обхода.

Подставив все получившиеся значения в систему, вычисляем её главный определитель ∆, а также определители ∆₁,∆₂,∆₃, полученные при подстановке на место 1-го, 2-го и 3-го столбцов соответственно значений столбца контурных Э.Д.С.

Находим значения контурных токов:

А также токи в ветвях, равные алгебраической сумме контурных токов:

, ,

, ,

Для того, чтобы проверить правильность расчетов составляют баланс мощностей по формуле:

Если направление тока I, протекающего через Э.Д.С. E, совпадает с направлением Э.Д.С., то произведение EI входит в уравнение с положительным знаком, так как источник Э.Д.С. доставляет в цепь энергию.