Производная функции, заданной неявно

Практикум по математическому анализу

Тема. Производные функций

- основные правила дифференцирования;

- дифференцирование сложной функции;

- производная функции, заданной неявно;

- производная параметрически заданной функции.

Основные правила дифференцирования

1. Производная функции, заданной неявно - student2.ru , где Производная функции, заданной неявно - student2.ru – постоянное число (константа).

2. Производная функции, заданной неявно - student2.ru

3. Производная функции, заданной неявно - student2.ru

4. Производная функции, заданной неявно - student2.ru

5. Производная сложной функции – см. далее.

Дифференцирование сложной функции

u(v(x)). Здесь две функции – Производная функции, заданной неявно - student2.ru и Производная функции, заданной неявно - student2.ru , причем функция Производная функции, заданной неявно - student2.ru , образно говоря, вложена в функцию Производная функции, заданной неявно - student2.ru . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) называется сложной функцией.

Функция Производная функции, заданной неявно - student2.ru образно будет называться внешней функцией, а функция Производная функции, заданной неявно - student2.ru – внутренней (или вложенной) функцией.

Пример сложной функции: Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Правило дифференцирования сложной функции Производная функции, заданной неявно - student2.ru .

Таблица нахождения производных сложных функций

Производная функции, заданной неявно - student2.ru Производная функции, заданной неявно - student2.ru
Производная функции, заданной неявно - student2.ru
Производная функции, заданной неявно - student2.ru Производная функции, заданной неявно - student2.ru
Производная функции, заданной неявно - student2.ru Производная функции, заданной неявно - student2.ru
Производная функции, заданной неявно - student2.ru Производная функции, заданной неявно - student2.ru
Производная функции, заданной неявно - student2.ru Производная функции, заданной неявно - student2.ru
Производная функции, заданной неявно - student2.ru Производная функции, заданной неявно - student2.ru
Производная функции, заданной неявно - student2.ru Производная функции, заданной неявно - student2.ru
Производная функции, заданной неявно - student2.ru Производная функции, заданной неявно - student2.ru
Производная функции, заданной неявно - student2.ru Производная функции, заданной неявно - student2.ru
Производная функции, заданной неявно - student2.ru Производная функции, заданной неявно - student2.ru
Производная функции, заданной неявно - student2.ru Производная функции, заданной неявно - student2.ru
Производная функции, заданной неявно - student2.ru Производная функции, заданной неявно - student2.ru
Производная функции, заданной неявно - student2.ru Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Пример 1

Найти производную функции Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Первый шаг, который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции, состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является внутренней, а какая – внешней.

В случае простых примеров вроде Производная функции, заданной неявно - student2.ru понятно, что под синус вложен многочлен Производная функции, заданной неявно - student2.ru .

А если всё не очевидно? Как точно определить, какая функция является внешней, а какая внутренней? Для этого существует следующий прием.

Представим, что нам нужно вычислить значение выражения Производная функции, заданной неявно - student2.ru при Производная функции, заданной неявно - student2.ru (вместо единицы может быть любое число).

Что мы вычислим в первую очередь? В первую очередь нужно будет выполнить следующее действие: Производная функции, заданной неявно - student2.ru , поэтому многочлен Производная функции, заданной неявно - student2.ru и будет внутренней функцией Производная функции, заданной неявно - student2.ru :
Производная функции, заданной неявно - student2.ru
Во вторую очередь нужно будет найти Производная функции, заданной неявно - student2.ru , поэтому синус – будет внешней функцией:
Производная функции, заданной неявно - student2.ru
Теперь самое время применить правило дифференцирования сложной функции Производная функции, заданной неявно - student2.ru .

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Сначала находим производную внешней функции Производная функции, заданной неявно - student2.ru (синуса).
Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Обратите внимание, что внутренняя функция Производная функции, заданной неявно - student2.ru не изменилась, её мы не трогаем.

Далее Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Результат применения формулы Производная функции, заданной неявно - student2.ru выглядит так:

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Далее мы берем производную внутренней функции:

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения:
Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Пример 2

Найти производную функции Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Решение:
Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Разбираемся, где внешняя функция, а где внутренняя. Для этого пробуем вычислить значение выражения Производная функции, заданной неявно - student2.ru при Производная функции, заданной неявно - student2.ru . Что нужно выполнить в первую очередь? В первую очередь нужно сосчитать чему равно основание: Производная функции, заданной неявно - student2.ru , значит, многочлен Производная функции, заданной неявно - student2.ru – и есть внутренняя функция:
Производная функции, заданной неявно - student2.ru
И, только потом выполняется возведение в степень Производная функции, заданной неявно - student2.ru , следовательно, степенная функция – это внешняя функция:
Производная функции, заданной неявно - student2.ru
Согласно формуле Производная функции, заданной неявно - student2.ru , сначала нужно найти производную от внешней функции, в данном случае, от степени. Таким образом, результат применения правила дифференцирования сложной функции Производная функции, заданной неявно - student2.ru следующий:

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

При взятии производной от внешней функции Производная функции, заданной неявно - student2.ru , внутренняя функция Производная функции, заданной неявно - student2.ru не меняется:
Производная функции, заданной неявно - student2.ru
Теперь осталось найти производную от внутренней функции и преобразовать результат:

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Пример 3

а) Найти производную функции Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

б) Найти производную функции Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Пример 4

Найти производную функции Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Для того, чтобы продифференцировать корень, его нужно представить в виде степени Производная функции, заданной неявно - student2.ru . Таким образом, сначала приводим функцию в подходящий для дифференцирования вид:

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Сумма трех слагаемых – это внутренняя функция, а возведение в степень – внешняя функция. Применяем правило дифференцирования сложной функции Производная функции, заданной неявно - student2.ru :

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Степень можно снова представить в виде радикала (корня), а для производной внутренней функции применить правило дифференцирования суммы:

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Пример 5

Найти производную функции Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Необходимо подготовить функцию для дифференцирования – вынести минус за знак производной, косинус поднять в числитель:

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Косинус – внутренняя функция, возведение в степень – внешняя функция.
По правилу:

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Находим производную внутренней функции, косинус сбрасываем обратно вниз:

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Пример 6

Найти производную функции Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Разбираемся во вложениях этой функции. Пробуем вычислить выражение Производная функции, заданной неявно - student2.ru с помощью значения Производная функции, заданной неявно - student2.ru . Сначала нужно найти Производная функции, заданной неявно - student2.ru , значит, арксинус – самое глубокое вложение:

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Затем этот арксинус единицы следует возвести в квадрат Производная функции, заданной неявно - student2.ru :

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

И, наконец, семерку возводим в степень Производная функции, заданной неявно - student2.ru :
Производная функции, заданной неявно - student2.ru

То есть, в данном примере у нас три разные функции и два вложения, при этом, самой внутренней функцией является арксинус, а самой внешней функцией – показательная функция.

Начинаем решать

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Согласно правилу Производная функции, заданной неявно - student2.ru сначала нужно взять производную от внешней функции. Смотрим в таблицу производных и находим производную показательной функции: Производная функции, заданной неявно - student2.ru Единственное отличие – вместо «икс» у нас сложное выражение Производная функции, заданной неявно - student2.ru , что не отменяет справедливость данной формулы. Итак, результат применения правила дифференцирования сложной функции Производная функции, заданной неявно - student2.ru следующий:

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Под штрихом снова сложная функция. Согласно правилу дифференцирования сложной функции сначала нужно взять производную от степени:

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Пример 7

Найти производную функции Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Сначала используем правило дифференцирования суммы Производная функции, заданной неявно - student2.ru , заодно в первом слагаемом выносим постоянный множитель за знак производной по правилу Производная функции, заданной неявно - student2.ru :

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

В обоих слагаемых под штрихами у нас находится произведение функций, следовательно, нужно дважды применить правило Производная функции, заданной неявно - student2.ru :

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Замечаем, что под некоторыми штрихами у нас находятся сложные функции Производная функции, заданной неявно - student2.ru , Производная функции, заданной неявно - student2.ru .

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Производная функции, заданной неявно

Функция одной переменной Производная функции, заданной неявно - student2.ru –это правило, по которому каждому значению независимой переменной Производная функции, заданной неявно - student2.ru соответствует одно и только одно значение функции Производная функции, заданной неявно - student2.ru .

Переменная Производная функции, заданной неявно - student2.ru называется независимой переменной или аргументом.
Переменная Производная функции, заданной неявно - student2.ru называется зависимой переменной или функцией.

Рассмотрим функцию Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Мы видим, что слева у нас одинокий «игрек» (функция), а справа – только «иксы». То есть, функция Производная функции, заданной неявно - student2.ru в явном виде выражена через независимую переменную Производная функции, заданной неявно - student2.ru .

Рассмотрим другую функцию: Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Здесь переменные Производная функции, заданной неявно - student2.ru и Производная функции, заданной неявно - student2.ru расположены «вперемешку». Причем никакими способами невозможно выразить «игрек» только через «икс». Что это за способы? Перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, вынесение за скобки, перекидывание множителей по правилу пропорции и др.

Производная функции, заданной неявно - student2.ru – пример неявной функции.

Пример 1

Найти производную от функции, заданной неявно Производная функции, заданной неявно - student2.ru

1) На первом этапе навешиваем штрихи на обе части:
Производная функции, заданной неявно - student2.ru

2) Используем правила линейности производной:
Производная функции, заданной неявно - student2.ru

3) Непосредственное дифференцирование.
Производная функции, заданной неявно - student2.ruпроизводная от функции равна её производной: Производная функции, заданной неявно - student2.ru .

Как дифференцировать Производная функции, заданной неявно - student2.ru
Здесь сложная функция. Потому что буква «игрек» – САМА ПО СЕБЕ ЯВЛЯЕТСЯ ФУНКЦИЕЙ(см. определение в начале пункта). Таким образом, синус – внешняя функция, Производная функции, заданной неявно - student2.ru – внутренняя функция. Используем правило дифференцирования сложной функции Производная функции, заданной неявно - student2.ru :

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Произведение дифференцируем по обычному правилу Производная функции, заданной неявно - student2.ru :

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Обратите внимание, что Производная функции, заданной неявно - student2.ru – тоже сложная функция:

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Само оформление решения должно выглядеть примерно так:
Производная функции, заданной неявно - student2.ru
Производная функции, заданной неявно - student2.ru
Если есть скобки, то раскрываем их:
Производная функции, заданной неявно - student2.ru

4) В левой части собираем слагаемые, в которых есть «игрек» со штрихом. В правую часть – переносим всё остальное:
Производная функции, заданной неявно - student2.ru

5) В левой части выносим производную Производная функции, заданной неявно - student2.ru за скобки:

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

6) И по правилу пропорции сбрасываем эти скобки в знаменатель правой части:

Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Пример 2

Найти производную от функции, заданной неявно Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Заключаем обе части под штрихи и используем правило линейности:
Производная функции, заданной неявно - student2.ru
Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Дифференцируем, используя правило дифференцирования сложной функции Производная функции, заданной неявно - student2.ru и правило дифференцирования частного Производная функции, заданной неявно - student2.ru :
Производная функции, заданной неявно - student2.ru
Производная функции, заданной неявно - student2.ru
Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Раскрываем скобки:
Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Теперь нам нужно избавиться от дроби. В знаменателе дроби находится Производная функции, заданной неявно - student2.ru . Умножаем каждое слагаемое каждой части на Производная функции, заданной неявно - student2.ru . Если подробно, то выглядеть это будет так:
Производная функции, заданной неявно - student2.ru
Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Иногда после дифференцирования появляется 2-3 дроби. Если бы у нас была еще одна дробь, например, Производная функции, заданной неявно - student2.ru , то операцию нужно было бы повторить – умножить каждое слагаемое каждой части на Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Далее алгоритм работает стандартно, после того, как все скобки раскрыты, все дроби устранены, слагаемые, где есть «игрек штрих» собираем в левой части, а в правую часть переносим всё остальное:
Производная функции, заданной неявно - student2.ru

В левой части выносим Производная функции, заданной неявно - student2.ru за скобку:
Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Окончательный ответ:
Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Пример 3

Найти производную от функции, заданной неявно Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Навешиваем штрихи на обе части:
Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Используем правила линейности:
Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Находим производные:
Производная функции, заданной неявно - student2.ru
Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Раскрываем все скобки:
Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Переносим все слагаемые с Производная функции, заданной неявно - student2.ru в левую часть, остальные – в правую часть:
Производная функции, заданной неявно - student2.ru

В левой части выносим Производная функции, заданной неявно - student2.ru за скобку:
Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Окончательный ответ:
Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Пример 4

Найти производную от функции, заданной неявно Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Решение:
Производная функции, заданной неявно - student2.ru
Производная функции, заданной неявно - student2.ru
Производная функции, заданной неявно - student2.ru
Производная функции, заданной неявно - student2.ru
Производная функции, заданной неявно - student2.ru
Производная функции, заданной неявно - student2.ru
Таким образом: Производная функции, заданной неявно - student2.ru

Наши рекомендации