Магнитное поле в вакууме

В 1820 году Эрстед обнаружил, что магнитная стрелка устанавливается определенным образом по отношению к проводу, по которому идет ток. Это значит, что вокруг проводника с током существует магнитное поле, вызванное движением зарядов. Далее было установлено экспериментально, что магнитное поле действует на движущиеся заряды и не действует на покоящиеся.

Cила Лоренца. Опыт показывает, что сила, действующая на заряд q, зависит от его величины, положения и скорости. Эту силу разделяют на две составляющие – электрическую (не зависит от скорости заряда) и магнитную (она зависит от его скорости). Пусть магнитное поле описывается вектором магнитной индукции . Опыт показывает, что на заряд q, движущийся со скоростью , действует магнитная сила

= , (50)

по которой можно определить вектор . На покоящийся заряд в магнитном поле сила не действует. Сила перпендикулярна вектору скорости заряда , поэтому она работы не совершает. Если есть еще и электрическое поле, то результирующая сила (она называется силой Лоренца) равна

. (51)

Магнитное поле равномерно движущегося заряда. Опыт показывает, что точечный заряд q, движущийся со скоростью , создает поле с магнитной индукцией

, (59)

где магнитная постоянная =4p×10^-7 Гн/м; - радиус-вектор, проведенный от заряда q к точке наблюдения. Для магнитных полей, также как и для электрических, справедлив принцип суперпозиции.

Теорема Гаусса для вектора . Графически магнитное поле может быть представлено линиями вектора , касательная к которым в каждой точке совпадает с направлением вектора , а густота линий равна его модулю. Магнитное поле не имеет специальных магнитных источников, что и выражает теорема Гаусса для поля вектора : Поток вектора сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю:

. (63)

Эта теорема выражает тот факт, что линии вектора не имеют ни начала, ни конца. Поэтому число линий, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S , всегда равно числу линий, входящих в этот объем. Отсюда, поток вектора сквозь незамкнутую поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы этой поверхности.

Теорема о циркуляции вектора (для магнитного поля постоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора поля по произвольному замкнутому контуру Гравна произведениюm_о на алгебраическую сумму токов, охватываемых контуром Г:

= m_оI , (64)

где . Каждый ток в сумме – величина алгебраическая: ток считается >0, если направление движения положительных зарядов в нем связано с направлением обхода контура правилом правого винта.

Так как правая часть выражения (64) не равна нулю, данное поле не потенциально. Подобные поля называют вихревыми, или соленоидальными. Теорема о циркуляции может быть применена для расчета поля вектора . Сравним расчет магнитного поля прямого тока при помощи закона Био-Саварра с расчетом, в котором используется теорема о циркуляции вектора .

Магнитное поле прямого тока. Рассмотрим бесконечный тонкий прямой проводник, по которому течет ток I (рис.18). В соответствии с (61) в произвольной точке А векторы от всех элементов тока имеют одинаковое направление – за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов можно заменить сложением их модулей (удобнее в качестве угла α взять не угол между dl и r, а дополнительный к нему, поэтому вместо синуса - косинус)

.

Из рисунка 18 видно, что и , Þ

.

Проинтегрируем это выражение в пределах изменения a от -p/2 до +p/2, Þ

= , Þ

. (65)

Решим эту же задачу при помощи теоремы о циркуляции. Причем в данном случае откажемся от предположения о тонком проводнике. Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечного прямого провода, имеющего круглое сечение радиуса а, перпендикулярно рисунку 19. Найдем индукцию поля снаружи и внутри провода. Из симметрии задачи следует, что силовые линии должны иметь вид перпендикулярных проводу окружностей с центром на оси провода. Причем модуль вектора должен быть одинаков для всех точек, расположенных на одинаковом расстоянии r от оси. Для контура Г₁ по теореме о циркуляции , Þ при ( ), что по смыслу совпадает с (65) ; для контура Г₂: , так как внутрь этого контура попадает только часть тока, пропорциональная отношению сечений. Þ при ( ).