Дополнительное задание 7

7.17. В треугольнике ABC дано: = a, = b, точка M - середина стороны BC. Выразить вектор через векторы a и b.

7.18. При каких значениях l векторы 2la и (l³ - 1)a, (a ¹ o), имеют одинаковое направление?

7.19. При каких значениях x векторы x³a и (x² - x - 2)a, a ¹ o, противоположно направлены?

7.20. Дано: |a| = 13, |b| = 19, |a + b| = 24. Найти: |a - b|.

7.21. Дано: a ^ b, |a| = 5, |b| = 12. Найти: |a + b| и|a - b|.

7.22. В треугольнике ABC: M - точка пересечения медиан треугольника, = a, = b. Разложить и по векторам a и b.

7.23. В параллелограмме ABCD: K и M - середины сторон BC и CD, = a, = b. Выразить векторы и через a и b.

7.24.Проверить, будут ли линейно зависимы векторы l, m, n, разложенные по трем некомпланарным векторам a, b, c: l = a + 2b, m = b +2c, n = c. В случае утвердительного ответа указать связывающую их линейную зависимость.

Ответы к занятию 7

7.2. .

7.3. .

7.4. = , = , = , = .

7.5. а) -2; б) - 1; в) ± 1. 7.6. а) да, можно; б) c = m + n.

7.7. Линейно зависимы, 0l - 2m + n = 0.

7.13. а) Линейно независимы; б) линейно независимы;в) линейно зависимы.

7.14. Линейно зависимы; l + m - n = 0. 7.16. l = m = 1. 7.17. .

7.18. (- ¥; 0)È(1; ¥). 7.19. (- ¥; - 1)È(0; 2). 7.20. 22. 7.21. 13; 13.

7.22.3a - b; 2b - 3a. 7.23.2b - 2a. 7.24.Линейно независимы.

Занятие 8. ВЕКТОР В ДекартовЫХ КООРДИНАТАХ

Изучаемый материал: понятие базиса пространства; декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве; направляющие косинусы вектора; деление отрезка в данном отношении.

1. Операции с векторами	8.1 - 8.3	8.10 - 8.12	8.19 - 8.21
2. Линейная зависимость. Разложение по базису	8.4 - 8.6	8.13 - 8.15	8.22 - 8.24
3. Геометрические задачи	8.7	8.16	8.25 - 8.27
4. Деление отрезка в данном отношении	8.8, 8.9	8.17, 8.18

Примечание. Для единичного вектора используется обозначение a⁰.

8.1. Заданы векторы a = (– 1, 2, 0), b = (3, 1, 1), c = (2, 0, 1) и d = a – 2b + c.

Вычислить: a) |a| и координаты единичного вектора a⁰ вектора a; б) ;

в) координату d_xвектора d; г) пр_j d.

8.2. Найти вектор x, коллинеарный вектору a = i – 2j – 2k, образующий с ортом j острый угол и имеющий длину |x | = 15.

8.3.Найти направляющие косинусы вектора a = (14, 22, 7).

8.4. Являются ли линейно зависимыми следующие системы векторов:

а) (1, 4) и (2, 8); б) (2, – 2, 3) и (4, – 4, 4); в) (3, 2), (6, 4) и (– 12, – 8);

г) (4, 1, 2), (2, 1, 1) и (– 2, 3, – 1).

8.5.Даны три вектора a = (2, – 1), b = (1, 2), c = (4, 3). Найти разложение вектора m = a + b + c по векторам a и b.

8.6. Показать, что тройка векторов a = (1, 0, 0), b = (1, 1, 0), c = (1, 1, 1) образует базис в множестве всех векторов пространства. Вычислить координаты вектора d = –2i – k в базисе (a, b, c) и написать соответствующее разложение по базису.

8.7. Даны две смежные вершины параллелограмма A(– 2, 6), B(2, 8) и точка

пересечения его диагоналей M(2, 2). Найти две другие вершины.

8.8.Даны вершины треугольника A(3, –1, 5), B(4, 2, –5), C(– 4, 0, 3). Найти длину медианы, проведенной из вершины A.

8.9. Определить координаты концов отрезка, который точками

C(2, 0, 2) и D(5, – 2, 0) разделен на три равные части.

Домашнее задание 8

8.10. Заданы векторы a = 2i + 3j, b = – 3j – 2k, c = i + j – k. Найти:

a) координаты единичного вектора ;

б) координаты вектора a – 0,5b + c;

в) разложение вектора a + b – 2c по базису (i, j, k);

г) пр_j (a – b).

8.11. Найти вектор x, образующий со всеми тремя базисными ортами равные острые углы, если |x | = 2 .

8.12. Найти направляющие косинусы вектора a = (13, – 6, 18). .

8.13. Являются ли линейно зависимыми следующие системы векторов:

а) (1, 4) и (2, 5); б) (2, – 2, 3) и (6, – 6, 9); в) (3, 2), (6, 4) и (– 12, 8);

г) (5, 2, 1), (– 1, 2, 3) и (1, – 1, 3).

8.14. Даны три вектора a = (2, – 1), b = (1, 2), c = (4, 3). Найти разложение вектора m = a + b + c по векторам b и c.

8.15.На плоскости заданы векторы a = (– 1, 2), b = (2, 1) и c = (0, – 2). Убедиться, что (a, b) - базис в множестве всех векторов на плоскости. Построить заданные векторы и найти разложение вектора c по базису (a, b).

8.16. Даны три вершины A(3, – 4, 7), B(– 5, 3, – 2), C(1, 2, – 3) параллелограмма ABCD. Найти его четвертую вершину D, противоположную вершине B.

8.17. На оси ординат найти точку M, равноудаленную от точек A(1, – 4, 7) и

B(5, 6, – 5).

8.18. Отрезок с концами в точках A(3, – 2) и B(6, 4) разделен на три равные части. Найти координаты точек деления.