Задача-пример обратного перспективного преобразования

Задача такая: имеется искаженная картина (изображение), для которой известны точные значения координат 4-х точек. Необходимо восстановить ее действительное изображение. Для этого по 4-м известным точкам восстанавливают исходную систему координат а значит и правильную геометрическую форму объекта.

Итак, имеется 4-е исходные точки и надо получить матрицу перехода вперёд и назад. Прямое преобразование было уже получено и приведено выше – слайд 23. Необходимо получить коэффициенты перехода в обратную сторону и получить, таким образом, матрицу обратного преобразования.

Сразу заметим, что коэффициент а₃₃ = 1, и его искать не надо. Его можно сократить в числителе и знаменателе (просто вынести за скобку). Соответственно, в системе уравнений число уравнений будет не 9, а 8. Заметим также, что в формулах аффинного преобразования отсутствовал знаменатель, т.к. координата w всегда была равна 1 для точки (радиус-вектора) и 0 для направления, а коэффициенты p и q равнялись нулю. В перспективном преобразовании p и q не равны 0.

Решение задачи. Имеется 4-е точки соответствия стартового изображения и перспективного. Отметим, что в похожей задаче аффинного преобразования таких точек требовалось 3. Нужно найти такую матрицу, которая будет давать точный переход из одной системы координат в другую. Решение будем искать в виде

Р = Р' ∙ М; М=?

или

М = Р ∙ (Р')^-1,

где М - матрица обратного преобразования.

Исходные данные: имеется 4-е пары точек соответственно в одной СК и в другой:

(х0 у0)	↔	(х'0 у'0)
(х1у1)	↔	(х'1 у'1)
(х2 у2)	↔	(х'2 у'2)
(х3 у3)	↔	(х'3 у'3)

Если в итоговой формуле для координат – слайд 23, умножить левые и правые части на знаменатель, помня, что в аффинных преобразованиях W=1 и a₃₃=1, то получим два уравнения:

x=a₁₁x'+a₂₁y' +a₃₁-a₁₃x'x-a₂₃y'x;

у=a₁₂x+a₂₂y' +a₃₂-a₁₃x'x-a₂₃y'y;

Это зависимость новых координат от старых.

Подставляя в эти уравнения значения исходных координат как 8 зависимостей заданных пар точек, получим 8 уравнений для нахождения коэффициентов матрицы преобразования. В матричной форме эти линейные уравнения приведены на слайде 26.

Задачу решения этих уравнений можно упростить, не применяя метод Гаусса. Суть такого решения состоит в том, что вместо прямого преобразования переход из одной системы координат в другую можно найти через единичный квадрат – слайд 27, координаты вершин которого:

показаны на рис. ниже

Подставляя эти координаты в матрицу М1 и в матрицу М2 в итоговом матричном уравнении получим много нулей, что упростит все вычисления. Разобьём задачу на две части. Найдём матрицу М1 преобразования заданного изображения в единичный квадрат. Затем выполним ту же операцию с преобразованным четырёхугольником и получим матрицу М2. Тогда искомая матрица М может быть определена через скалярное произведение матриц М1 и М2, т.е. М = М1 ∙ М2^-1.

Из матрицы М1 получаем уравнения для определения неизвестных коэффициентов a_ij

а₁₁=х₁-х₀+а₁₃х₁

а₂₁=х₃-х₀+а₂₃х₃

а₃₁=х₀ эта система получена из исходной, слайд 27

а₁₂=у₁-у₀+а₁₃у₁

а₂₂=у₃-у₀+а₂₃у₃

а₃₂=у₀

Для решения уравнений относительно коэффициентов a_ij (слайд 27 и 29) можно ввести обозначения:

И дальше находим решение (методом Крамера) для коэффициентов, отвечающих за перспективное преобразование:

a₁₃= a₂₃=

В результате получается матрица М1 перехода из исходного четырёхугольника в единичный квадрат.

Все процедуры повторяют для второй фигуры и получают матрицу М2. В конечном итоге получают матрицу М, обеспечивающую универсальный механизм произвольной привязки координат.

С плоскостью всё.

Это преобразование можно использовать для целей создания перспективных преобразований изображений, а также исправления разного рода искажений, на кривой фотографии или плохо отсканированной книги. Если исходная фигура была параллелограммом, то коэффициенты а₁₂ и а₁₃ получим равными 0, так как преобразование будет аффинным.