Вероятностная модель системы массового обслуживания

Для изучения закономерностей в поведении СМО применяют аналитические методы. Их суть состоит в получении моделей в виде математических соотношений, уравнений для интересующих характеристик СМО. Решая эти уравнения, можно получить зависимости нужных характеристик от всех параметров модели.

Вернемся к основным понятиям, определяющим СМО. Это, во-первых, поток входящих вызовов, во-вторых, один или несколько обслуживающих приборов, и, наконец, очередь, в которой может находиться случайное число ожидающих обслуживания вызовов (заявок, требований, сообщений). СМО функционирует во времени, т.е. преобразует входной поток вызовов в поток обслуженных вызовов.

Поскольку принципиальным аспектом работы СМО является случайный характер входного потока вызовов, то все математические модели СМО будут вероятностными, которые описываются стохастическими уравнениями. Их решения будут определять некоторые распределения вероятностей для дискретных случайных величин или плотности вероятности для непрерывных случайных величин. Во многих случаях знание распределений не является необходимым, и тогда исследуемые характеристики будут описываться некоторыми средними - математическим ожиданием, дисперсией и т.п.

Практически все известные аналитические результаты удается получить, опираясь на математический аппарат, разработанный российским математиком А.А. Марковым.

Случайный процесс называется марковским, если будущее поведение процесса не зависит ни от каких сведений о прошлом. Наиболее важным для дальнейшего использования является класс непрерывных цепей (случайных процессов) Маркова называемых «процессами гибели - размножения». Для таких случайных процессов будущие состояния СМО зависят от прошлого только через текущее состояние СМО.

Пусть Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru - вероятность нахождения пучка линий в состоянии Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru (вероятность занятия x каналов)в момент времени Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru , где x = 0, ..., V , а Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru - та же вероятность в момент времени t.

Согласно определению марковского процесса за промежуток времени Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru может произойти не более одного элементарного события. Поэтому, если в момент времени Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru пучок перейдет в состояние Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru , то это возможно при наступлении за время Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru одного из трех событий:

- в момент времени Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru пучок находился в состоянии Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru ,и за время Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru поступил один вызов;

- в момент времени Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru пучок находился в состоянии Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru , а за время Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru произошло одно освобождение;

- в момент времени Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru пучок находился в состоянии Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru , а за время Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru не поступил вызов, и не произошло освобождение.

Графически вероятностные процессы часто изображают в виде диаграммы переходов, в которой соседние состояния соединяются линиями, отображающими интенсивности переходов между ними (рисунок 3.7).

Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru

Состояние Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru – все каналы свободны;

состояние Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru – один канал занят;

состояние Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru – два канала занято;

…………..

состояние Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ruВероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru каналов занято;

состояние Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ruВероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru каналов занято.

Рисунок 3.7 – Диаграмма переходов СМО

Вероятность поступления в состоянии Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru за время Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru хотя бы одного вызова

Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru .

Вероятность освобождения в состоянии Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru за время Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru хотя бы одного канала пучка

Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru .

Вероятность нахождения пучка за время Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru в том же состоянии

Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru .

Запишем вероятность Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru как

Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru

где x = 0, ..., V.

Перейдя к пределу при Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru , получим

Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru ;

Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru

Учитывая, что Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru , получаем систему дифференциальных уравнений

Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru

Далее, будем считать, что исследование проводится для установившегося (стационарного) режима, в котором вероятности состояний не зависят от времени наблюдения, т.е.,

Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru .

Поэтому можно считать, что Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru , где Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru - стационарная вероятность занятия точно Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru каналов пучка. Следовательно

для Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru :

Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru ;

для Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru :

Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru ;

Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru .

Таким образом, можно получить, что

Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru ,

или, иначе

Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru ;

Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru ;

Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru ;

Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru .

Из условия нормировки Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru находим, что

Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru ,

а затем

Вероятностная модель системы массового обслуживания - student2.ru . (3.6)

Наши рекомендации