Залежні й незалежні випадкові події, формули додавання ймовірностей

Класифікація подій ,класичне означення ймовірності випадкової події ,статистичне означення ймовірності;елементи комбінаторики ;аксіоми теорії ймовірностей та їх наслідки.

Випробування — реальний або мислений експеримент (виконуваний за певної незмінної сукупності умов), результати якого піддаються спостереженню. Подія — результат випробування. Якщо в результаті випробування деяка подія неодмінно відбудеться, то вона називається достовірною і позначається літерою U. Подія, яка в даному випробуванні не може відбутись, називається неможливою і позначається літерою V.Якщо в результаті випробування деяка подія може відбутись, а може не відбутись, то вона називається випадковою. Випадкові події позначаються літерами A, B, C, D, …

Класичною імовірністю випадкової події А називається відношення кількості елементарних подій m, які сприяють появі цієї події (становлять множину її елементарних подій), до загальної кількості n рівноможливих елементарних подій, що утворюють простір елементарних подій W: P(A)= m /n.

Статистичною ймовірністю події А називається відношення кількості m випробувань, в яких подія А відбулась, до загальної кількості виконаних випробувань n: W(A)= m /n.

Переставленням із n елементів називають такі впорядковані множини з n елементів, які різняться між собою порядком їх розміщення. Кількість таких упорядкованих множин обчислюється за формулою: Pn = n!

Розміщенням із n елементів по m

(0 Залежні й незалежні випадкові події, формули додавання ймовірностей - student2.ru m Залежні й незалежні випадкові події, формули додавання ймовірностей - student2.ru n) називаються такі впорядковані множини, кожна із яких містить m елементів і які відрізняються між собою порядком розташування цих елементів або хоча б одним елементом: Залежні й незалежні випадкові події, формули додавання ймовірностей - student2.ru = n! /(n-m)!

Комбінаціямиз n елементів по m

(0 Залежні й незалежні випадкові події, формули додавання ймовірностей - student2.ru m Залежні й незалежні випадкові події, формули додавання ймовірностей - student2.ru n) називаються такі множини з m елементів, які різняться між собою хоча б одним елементом: Залежні й незалежні випадкові події, формули додавання ймовірностей - student2.ru = n! / m!(n-m)!

Система подій називається алгеброю подій, якщо:

1. Залежні й незалежні випадкові події, формули додавання ймовірностей - student2.ru

2. із того, що Залежні й незалежні випадкові події, формули додавання ймовірностей - student2.ru , Залежні й незалежні випадкові події, формули додавання ймовірностей - student2.ru випливає, що: Залежні й незалежні випадкові події, формули додавання ймовірностей - student2.ru , Залежні й незалежні випадкові події, формули додавання ймовірностей - student2.ru , Залежні й незалежні випадкові події, формули додавання ймовірностей - student2.ru

Числова функція P, що визначена на системі подій Q, називається ймовірністю, якщо:

1. Q є алгеброю подій;

2. для будь-якого AÌ Q існує P(A)³0;

3. P(W)=1;

4. якщо А і В є несумісними (АÇВ)=Æ, то P(AÈB)=P(A)+P(B);

5. для будь-якої спадної послідовності Залежні й незалежні випадкові події, формули додавання ймовірностей - student2.ru подій із Q, такої, що

Залежні й незалежні випадкові події, формули додавання ймовірностей - student2.ru випливає рівність

Q,

Трійка (Q,W,R), де Q є алгеброю подій і Р задовольняє аксіоми 1-5, називається простором імовірностей.

Наслідки аксіом:

1. якщо випадкові події Залежні й незалежні випадкові події, формули додавання ймовірностей - student2.ru є несумісними попарно, то

2. якщо випадкові події Залежні й незалежні випадкові події, формули додавання ймовірностей - student2.ru утворюють повну групу, то

3. формула додавання для n сумісних

Залежні й незалежні випадкові події, формули додавання ймовірностей - student2.ru

4. якщо випадкова подія А сприяє появі В(АÌВ), то P(A)£P(B)

Залежні й незалежні випадкові події, формули додавання ймовірностей.

Події В і С називаються залежними, якщо ймовірність однієї з них змінюється залежно від того, відбулась друга подія чи ні. У противному разі події називаються незалежними. Нехай подія А є сумою двох подій В і С. Тоді:

а) якщо події В і С несумісні, то P(A)=P(BÈC)=P(B)+P(C);

б) якщо події В і С сумісні, то P(A)=P(BÈC)=P(B)+P(C)-P(BÇC).

Наши рекомендации