Примеры решения задач. Пример 1.Незаряженная проводящая сфера радиуса R помещена во внешнее однородное электрическое поле

Пример 1.Незаряженная проводящая сфера радиуса R помещена во внешнее однородное электрическое поле., в результате чего на ее поверхности появляется индуцированный заряд, плотность которого s = s₀cosq, где s₀ = const и q - азимутальный угол. Определить силы, действующие на сферу со стороны электрического поля.

На рис 1.7а) схематически показано распределение индуцированного заряда по поверхности проводящей сферы при помещении ее во внешнее однородное электростатическое поле. В соответствии с формулой (1.33) на элемент поверхности dS = R² sinqdqdf действует сила

.

Как видно из рис.1.7б), при наложении всех элементарных сил, действующих на положительно (отрицательно) заря-женную полусферу, составляющие, перпендикулярные оси Oz, компенсируются. Результирующая сила, действующая на полусферу, обеспечивается вкладами

.

Тогда .

Такая же по величине и противоположная по направлению сила действует и на отрицательно заряженную часть сферы. Таким образом, на сферу действуют силы, растягивающие ее вдоль линий напряженности внешнего поля.

Пример 2.Точечный заряд q находится на расстоянии d от центра заземленной сферы радиуса R. Определить потенциал электростатического поля системы.

Одним из наиболее эффективных методов определения поля системы точечных зарядов при наличии проводников является метод изображений. Этот метод заключается в введении системы определенным образом подобранных зарядов-изображений, которые расположены так, что действие этих зарядов обеспечивает требуемые граничные условия. При этом заряды-изображения должны находиться вне области существования искомого поля.

Пусть в рассматриваемом примере заряд-изображение q¢ находится на расстоянии х от центра сферы О (см. рис.1.8). Значения величин х и q¢ должны быть такими, чтобы поверхность сферы R = const была эквипотенциальной поверхностью j = 0 для поля системы зарядов q и q¢ в области пространства вне сферы. Из рис 1.8. видно, что для точек В и N можно записать условие равенства потенциалов нулю в виде двух уравнений:

- для точки B,

- для точки N.

Решая совместно эти уравнения, получаем:

.

Тогда в соответствии с принципом суперпозиции потенциал в точке наблюдения Р

.

Если ввести полярный угол q, то из треугольника MCP видно, что

.

Пример 3. Четыре одинаковые проводящие маленькие сферы расположены по углам квадрата. Сфера 1 несет заряд q. Затем она соединяется тонкой проволокой поочередно со сферами 2, 3 и 4 (нумерация циклическая). Найти распределение заряда между проводниками по окончании всех операций. Потенциальные коэффициенты системы заданы.

При решении задачи воспользуемся выражением (1.31):

и учтем, что при последовательном соединении сфер заряд перетекает до выравнивания потенциалов в каждой из операций. Учтем также, что в рассматриваемой системе имеют место лишь два отличающихся относительных расположения зарядов - 12, 23, 34, 41 и 13, 24. Поэтому

,

.

.

В этих соотношениях - собственный потенциальный коэффициент (для первой сферы в начальный момент , потенциалы остальных сфер нулевые – рис.1.9а)); учитывает влияние зарядов сфер на соседние сферы вдоль стороны квадрата, а - влияние на сферы вдоль диагонали. С учетом введенных обозначений и сделанных замечаний рассмотрим последовательные соединения.

Первое соединение 1-2 (рис.1.9б)).

,

.

Приравнивая эти потенциалы, получаем . Кроме того, . Следовательно, .

Второе соединение 1-3 (рис.1.9в))

,

.

Приравнивая и , а также учитывая, что , получаем .

Третье соединение 1-4 (рис.1.9г)).

,

.

Приравнивая правые части этих уравнений и учитывая, что , получаем окончательное распределение зарядов на сферах:

.