Поняття відображення або функції

Вступ

Математичний аналіз – частина математики, в якій функції і їх узагальнення вивчаються методами границь. Поняття границі тісно пов'язане з поняттям нескінченно малої величини, тому можна також сказати, що математичний аналіз вивчає функції та їх узагальнення методом нескінченно малих.

"Математичний аналіз" є скороченою назвою старої назви цієї частини математики – "Аналіз нескінченно малих". У класичному математичному аналізі об'єктами вивчення (аналізу) є перш за все функції. Розвиток математичного аналізу привів до можливості вивчення його методами більш складних утворень, ніж функція, функціоналів, операторів і т. д.

У природі та техніці зустрічаються зміни, рухи, які є першою ознакою того, що ми називаємо явищем, процесом. Закони явищ природи зазвичай описуються функціями. Звідси об'єктивна важливість математичного аналізу як засобу вивчення функцій .

Математичний аналіз у широкому розумінні цього терміна охоплює дуже велику частину математики. До нього входять диференціальне числення, інтегральне числення, теорія функцій дійсної змінної, теорія функцій комплексної змінної, наближення функцій, теорія диференціальних рівнянь, теорія інтегральних рівнянь, диференціальна геометрія, варіаційне числення, функціональний аналіз і деякі інші математичні науки.

Усе ж термін "математичний аналіз" часто застосовується для найменування лише основ математичного аналізу, які об'єднують у собі теорію дійсного числа, теорію границь, теорію рядів, диференціальне й інтегральне числення і їх безпосередні застосування, такі, як теорія максимумів та мінімумів, теорія неявних функцій, ряди Фур'є, інтеграли Фур'є.

Елементи теорії множин

Поняття множини. Поняття множини є первісним поняттям, тобто таким, якому не дається означення. Можна говорити про множину N усіх натуральних чисел, множину Z усіх цілих чисел, множину Q усіх раціональних чисел і т. д. Творець теорії множин Георг Кантор (1845-1919) розумів множину як зібрання певних та різних об'єктів нашої інтуїції або інтелекту, які сприймаються в якості цілого.

Множина вважається визначеною, якщо про будь-який об'єкт, що розглядається, можна сказати, що він належить або не належить цій множині. Якщо деякий елемент X належить множині A, то пишуть Поняття відображення або функції - student2.ru . Якщо елемент X не належить множині A, то це записують так: Поняття відображення або функції - student2.ru .

Нехай X– деяка фіксована множина (іноді її називають основною) і P– певна властивість, яку мають деякі елементи Поняття відображення або функції - student2.ru . Множина всіх елементів Поняття відображення або функції - student2.ru , що належать множині X і мають властивість P, позначається таким чином:

Поняття відображення або функції - student2.ru або Поняття відображення або функції - student2.ru .

Наприклад, якщо в значенні основної множини взяти множину Z, то множина Поняття відображення або функції - student2.ru є множиною натуральних чисел.

Якщо множина має скінченне число елементів, то її можна задати переліком її елементів, тобто записати Поняття відображення або функції - student2.ru .

Множина, яка не містить жодного елемента, називається порожньою і позначається знаком Поняття відображення або функції - student2.ru .

Дії над множинами. Множина А називається підмножиною множини В, якщо кожний елемент множини А є елементом множини В, тобто якщо Поняття відображення або функції - student2.ru . Якщо множина Поняття відображення або функції - student2.ru є підмножиною множини В, то пишуть Поняття відображення або функції - student2.ru або Поняття відображення або функції - student2.ru .

Для будь-якої множини А приймається, що Поняття відображення або функції - student2.ru .

Множини А та В називаються рівними, якщо Поняття відображення або функції - student2.ru і Поняття відображення або функції - student2.ru . Рівність множин позначається так: А=В.

Об'єднанням (сумою) множин А та В називається множина С, яка складається з елементів, кожен із яких належить множині А або множині В. Об'єднання множин позначається так: Поняття відображення або функції - student2.ru .

Перерізом (добутком) множин А і В називається множина С, яка складається з елементів, кожен із яких належить як множині А, так і множині Поняття відображення або функції - student2.ru . Записується: Поняття відображення або функції - student2.ru .

Різницею множин А і В називається множина С, яка складається з усіх тих елементів множини А, які не належать множині В. Різниця множин позначається так: Поняття відображення або функції - student2.ru .

Нехай Х − основна множина і Поняття відображення або функції - student2.ru . Доповненням до множини А називається множина Поняття відображення або функції - student2.ru .

Поняття відображення або функції - student2.ru

Правила двоїстості. Для будь-яких множин А і В мають місце співвідношення:

1. Поняття відображення або функції - student2.ru ;

2. Поняття відображення або функції - student2.ru .

Доведемо перше із співвідношень.

Поняття відображення або функції - student2.ru і Поняття відображення або функції - student2.ru і Поняття відображення або функції - student2.ru .

Отже, Поняття відображення або функції - student2.ru Поняття відображення або функції - student2.ru , тобто Поняття відображення або функції - student2.ru .

Аналогічно доводиться друге співвідношення.

Частково впорядковані множини. Нехай М − довільна множина і Поняття відображення або функції - student2.ru − деяке бінарне відношення в ній. Це відношення називається частковою впорядкованістю, якщо воно задовольняє умови:

1) рефлексивності: Поняття відображення або функції - student2.ru ;

2) транзитивності: якщо Поняття відображення або функції - student2.ru і Поняття відображення або функції - student2.ru , то Поняття відображення або функції - student2.ru ;

3) антисиметричності: якщо Поняття відображення або функції - student2.ru і Поняття відображення або функції - student2.ru , то Поняття відображення або функції - student2.ru .

Часткова впорядкованість може позначатися символом Поняття відображення або функції - student2.ru . Множина, в якій задано деяку часткову впорядкованість, називається частково впорядкованою. Запис Поняття відображення або функції - student2.ru означає, що елемент а не перевищує b або що він підпорядкований b, передує b, а b −не менше від а йде за а.

У випадку, коли Поняття відображення або функції - student2.ru та Поняття відображення або функції - student2.ru , користуються символом < , тобто пишуть Поняття відображення або функції - student2.ru і говорять, що а менше від b або що а строго підпорядковане b.

Частково впорядкована множина, для будь-яких двох точок а, b якої існує точка c, що йде за ними ( Поняття відображення або функції - student2.ru ), називається напрямленою.

Приклади.

1. Множина всіх натуральних чисел частково впорядкована, якщо Поняття відображення або функції - student2.ru означає „b ділиться на a без остачі”.

2. Множина всіх підмножин деякої фіксованої множини частково впорядкована за включенням, якщо Поняття відображення або функції - student2.ru означає, що Поняття відображення або функції - student2.ru .

3. Упорядкованою парою (a , b) є множина Поняття відображення або функції - student2.ru .

Нехай a, b − елементи частково впорядкованої множини. Може виявитися, що жодне із співвідношень Поняття відображення або функції - student2.ru і Поняття відображення або функції - student2.ru не має місця. У цьому випадку елементи a, b називаються непорівнянними. Тобто відношення порядку може бути визначеним лише для деяких пар елементів, тому й говориться про часткову впорядкованість. Якщо ж в частково впорядкованій множині M непорівняних елементів немає, то множина M називається впорядкованою ( лінійно впорядкованою, цілком упорядкованою ).

Декартовим добутком множин Поняття відображення або функції - student2.ru називається множина впорядкованих Поняття відображення або функції - student2.ru -ок:

Поняття відображення або функції - student2.ru .

Застосовується позначення Поняття відображення або функції - student2.ru .

ЛЕКЦІЯ 2

1. Поняття відображення або функції.

2. Потужність множин.

3. Зчисленні множини.

4. Математична індукція.

Поняття відображення або функції

Нехай X і Y дві множини. Відображенням f множини X у множину Y називається правило, яке кожному елементу Поняття відображення або функції - student2.ru ставить у відповідність один і тільки один елемент Поняття відображення або функції - student2.ru .

Замість слова "відображення" можна вживати "функція", "оператор", "відповідність".

Записи Поняття відображення або функції - student2.ru означають, що f є відображенням множини X у множину Y.

Для позначення функції вживаються й інші букви, наприклад Поняття відображення або функції - student2.ru .

Елемент y, який відображення f ставить у відповідність елементу Поняття відображення або функції - student2.ru , називається образом елемента Поняття відображення або функції - student2.ru при відображенні f або значенням відображення f у точці Поняття відображення або функції - student2.ru і позначається символом Поняття відображення або функції - student2.ru . Множина X називається областю визначення відображення f і позначається Поняття відображення або функції - student2.ru . Множина Поняття відображення або функції - student2.ru називається множиною значень відображення f.

Нехай Поняття відображення або функції - student2.ru . Образом множини A при відображенні f називається множина Поняття відображення або функції - student2.ru . Прообразом множини Поняття відображення або функції - student2.ru при відображенні Поняття відображення або функції - student2.ru називається множина Поняття відображення або функції - student2.ru .

Графіком функції Поняття відображення або функції - student2.ru називається множина Поняття відображення або функції - student2.ru .

Якщо Поняття відображення або функції - student2.ru і Поняття відображення або функції - student2.ru , то функція Поняття відображення або функції - student2.ru , яка визначається формулами Поняття відображення або функції - student2.ru називається складеною функцією, або суперпозицією функцій f і g.

Приклади. Поняття відображення або функції - student2.ru

Відображення Поняття відображення або функції - student2.ru називається відображенням множини Х на множину Поняття відображення або функції - student2.ru або сур'єкцією, якщо Поняття відображення або функції - student2.ru .

Відображення Поняття відображення або функції - student2.ru називається взаємооднозначним відображенням множини X у множину Y або ін'єкцією, якщо

Поняття відображення або функції - student2.ru

Відображення Поняття відображення або функції - student2.ru , яке є сур'єкцією та ін'єкцією, називається бієкцією. У цьому випадку говорять, що Поняття відображення або функції - student2.ru здійснює взаємно однозначну відповідність між множинами Поняття відображення або функції - student2.ru і Поняття відображення або функції - student2.ru .

Якщо Поняття відображення або функції - student2.ru − бієкція, то Поняття відображення або функції - student2.ru Функція Поняття відображення або функції - student2.ru називається оберненою до бієкції Поняття відображення або функції - student2.ru , якщо Поняття відображення або функції - student2.ru та Поняття відображення або функції - student2.ru .

Відображення Поняття відображення або функції - student2.ru називається послідовністю елементів із Поняття відображення або функції - student2.ru . Послідовність позначається так: Поняття відображення або функції - student2.ru де Поняття відображення або функції - student2.ruПоняття відображення або функції - student2.ru -ний член послідовності.

Потужність множин

Множина, яка складається із скінченного числа елементів, називається скінченною. Для скінченної множини Поняття відображення або функції - student2.ru число її елементів позначається Поняття відображення або функції - student2.ru . Скінченні множини можна порівнювати за кількістю їх елементів. Виникає питання, як можна порівнювати нескінченні множини? Г. Кантор побудував теорію, яка містить відповідь на поставлене питання. Вихідним пунктом цієї теорії є поняття потужності множини.

Множини Поняття відображення або функції - student2.ru і Поняття відображення або функції - student2.ru називаються рівнопотужними (мають однакову потужність), якщо існує бієкція Поняття відображення або функції - student2.ru . Рівнопотужні множини позначають так: A ~ B.

Зчисленні множини

Множина Поняття відображення або функції - student2.ru називається зчисленною, якщо A ~ N. У цьому випадку говорять, що елементи множини Поняття відображення або функції - student2.ru можна занумерувати.

Мають місце наступні твердження:

1. Нескінченна підмножина зчисленної множини зчисленна.

2. Нескінченна множина містить зчисленну підмножину.

3. Об'єднання зчисленної множини зчисленних множин є зчисленною множиною.

4. Декартів добуток двох зчисленних множин зчисленний.

5. Існують незчисленні множини.

Доведення першого і другого твердження досить прості. Їх пропонується виконати самостійно. Спинимось на доведенні твердження 3.

Нехай Поняття відображення або функції - student2.ru - зчисленні множини. Тоді для кожного Поняття відображення або функції - student2.ru .

Елементи об'єднання Поняття відображення або функції - student2.ru цих множин можна подати у вигляді таблиці

           
  Поняття відображення або функції - student2.ru   Поняття відображення або функції - student2.ru   Поняття відображення або функції - student2.ru
 

Поняття відображення або функції - student2.ru Поняття відображення або функції - student2.ru Поняття відображення або функції - student2.ruПоняття відображення або функції - student2.ru

           
  Поняття відображення або функції - student2.ru   Поняття відображення або функції - student2.ru   Поняття відображення або функції - student2.ru
 

Поняття відображення або функції - student2.ru Поняття відображення або функції - student2.ru Поняття відображення або функції - student2.ruПоняття відображення або функції - student2.ru

Поняття відображення або функції - student2.ru Поняття відображення або функції - student2.ru Поняття відображення або функції - student2.ruПоняття відображення або функції - student2.ru

…………………………………………

і занумерувати, наприклад у порядку, вказаному стрілками. Цим саме буде встановлена бієкція Поняття відображення або функції - student2.ru . Отже, Поняття відображення або функції - student2.ru .

Аналогічно доводиться твердження 4.

Нехай Поняття відображення або функції - student2.ru . Тоді декартів добуток Поняття відображення або функції - student2.ru складається із пар, які можна розташувати в такому порядку

Поняття відображення або функції - student2.ru

і занумерувати так, як зроблено в попередньому випадку.

Для доведення твердження 5 застосуємо діагональний метод (діагональну процедуру) Кантора.

Нехай Поняття відображення або функції - student2.ru − множина всіх можливих нескінченних ланцюгів, що складаються з двох символів, наприклад 0 і 1, вигляду Поняття відображення або функції - student2.ru

Покажемо, що множина Поняття відображення або функції - student2.ru незчисленна. Припустимо, що елементи множини Поняття відображення або функції - student2.ru занумеровані, тобто що множина Поняття відображення або функції - student2.ru зчисленна. Нехай

Поняття відображення або функції - student2.ru

де кожне Поняття відображення або функції - student2.ru дорівнює 0 або 1. Утворимо елемент Поняття відображення або функції - student2.ru , поклавши Поняття відображення або функції - student2.ru , і кожне Поняття відображення або функції - student2.ru відповідно дорівнює 0 або 1. Очевидно, що Поняття відображення або функції - student2.ru , але не збігається з жодним із занумерованих елементів Поняття відображення або функції - student2.ru . А це суперечить тому, що всі елементи множини Поняття відображення або функції - student2.ru можна занумерувати.

Математична індукція

Математична індукція - це метод доведення математичних тверджень, який полягає у наступному: твердження Поняття відображення або функції - student2.ru , яке залежить від натурального параметра Поняття відображення або функції - student2.ru , вважається доведеним, якщо доведено Поняття відображення або функції - student2.ru і Поняття відображення або функції - student2.ru із припущення, що справедливе Поняття відображення або функції - student2.ru , доведено справедливість Поняття відображення або функції - student2.ru .

Доведення твердження Поняття відображення або функції - student2.ru називається першим кроком індукції (базисом індукції), а доведення Поняття відображення або функції - student2.ru за припущення справедливості Поняття відображення або функції - student2.ru називається індуктивним переходом. При цьому Поняття відображення або функції - student2.ru називається параметром індукції, а припущення Поняття відображення або функції - student2.ru при доведенні Поняття відображення або функції - student2.ru називається індуктивним припущенням.

Нехай Поняття відображення або функції - student2.ru – зчисленна множина і для n ÎN

Поняття відображення або функції - student2.ru

є множина впорядкованих n-членних ланцюгів. Тоді за твердженням 4 і методом (принципом) математичної індукції Поняття відображення або функції - student2.ru є зчисленною множиною Поняття відображення або функції - student2.ru .

ЛЕКЦІЯ 3

1. Дійсні числа.

2. Деякі властивості дійсних чисел.

Дійсні числа

Уведемо аксіоматичне означення дійсних чисел.Із шкільного курсу математики відомо, що множина дійсних чисел складається із множини раціональних та ірраціональних чисел. Раціональним називається число, яке можна подати у вигляді звичайного дробу Поняття відображення або функції - student2.ru , де p, q − цілі числа, причому Поняття відображення або функції - student2.ru . Ірраціональним називається число, яке не є раціональним. Будь-яке раціональне число є або цілим, або скінченним чи нескінченним періодичним десятковим дробом. Ірраціональні числа – це нескінченні періодичні десяткові дроби. Виявлення ірраціональних чисел пов'язане з установленням у школі Піфагора (570-496 р. до н. е.) несумірності діагоналі квадрата і його сторони, тобто з установленням того факту, що довжина діагоналі квадрата не може бути виражена раціональним числом, якщо в значенні одиниці вимірювання взяти довжину сторони квадрата.

Ми дамо аксіоматичне означення множини дійсних чисел.

Множиною дійсних чисел називається множина елементів, для яких виконуються наступні аксіоми.

Наши рекомендации