Перетин прямої з поверхнею

Загальні положення

1. Для визначення точки перетину прямої з багатогранником, доцільно використовувати проекціювальну площину.

Алгоритм розв’язання задачі на визначення точок перетину прямої лінії з поверхнею складається з трьох операцій (див рис. 18):

- через задану пряму слід провести допоміжну площину;

- побудувати лінію перетину допоміжної площини з поверхнею;

- визначити точки перетину отриманої лінії перетину з заданою прямою (точки входу та виходу).

Перетин прямої з поверхнею - student2.ru

Рис. 18

2.Для визначення точки перетину прямої з циліндричною поверхнею, допоміжну січну площину проводять паралельно твірним циліндра (див. рис. 19, а). Допоміжна площина перетинає бічну поверхню по прямих - твірних).

Перетин прямої з поверхнею - student2.ru

а б

Рис. 19

53.

3.Для визначення точки перетину прямої з конічною поверхнею, допоміжну площину проводять через вершину конічної поверхні (див. рис. 19, б). (тоді бічну поверхню допоміжна площина перетинає по твірних).

4.Для побудови точок перетину прямої з поверхнями обертання доцільно використовувати спосіб перетворення площин проекцій, так щоб пряма розміщувалась доцільним чином.

5. В деяких випадках, доцільно використовувати допоміжне косокутне проекціювання. Для циліндра використовують паралельне проекціювання (див рис. 19, а)., а для конусів – центральне, з центром проекціювання в вершині конуса (див. рис. 19, б).

Задачі для підготовки до практичних занять:

17.1. Побудувати проекції точок перетину прямих m і n з поверхнею піраміди.

Перетин прямої з поверхнею - student2.ru

а б

54.

17.2. Побудувати проекції точок перетину прямої n з поверхнею: а) циліндра, б) конуса.

Перетин прямої з поверхнею - student2.ru

а б

Аудиторні задачі:

17.3. Побудувати проекції точок перетину прямої n з поверхнею призми.

Перетин прямої з поверхнею - student2.ru

а б

55.

17.4. Побудувати проекції точок перетину прямої n з поверхнею: а) сфери,

б) обертання.

Перетин прямої з поверхнею - student2.ru

а б

56.

Розгортка поверхонь

Загальні положення

1. Розгорткою поверхні називається плоска фігура, яка утворена суміщенням поверхні з довільною площиною.

2. Між поверхнею і її розгорткою встановлюється взаємно-однозначна відповідність: кожній точці поверхні відповідає певна точка розгортки.

3. Поверхні бувають розгортні та не розгортні.

Поверхня розгортна, коли її можна сумістити без розривів та складок з площиною.

Поверхня не розгортна, коли її не можна сумістити без розривів та складок з площиною.

4. Властивості розгортних поверхонь:

а) довжина відповідних відрізків ліній на поверхні і на розгортці однакові;

б) кути між відповідними лініями, що перетинаються, на поверхні і на розгортці однакові;

в) площі відповідних фігур, окреслених замкнутими лініями, на поверхні і на розгортці однакові.

4. Дотична площина, проведена в будь-якій точці розгортної поверхні, дотикається до неї по прямій твірній.

5. Для побудови розгортки багатогранника необхідно визначити натуральні величини всіх граней і, послідовно прибудовуючи їх по суміжних ребрах, сумістити з площиною.

6. Загальний принцип побудови розгортки розгортної кривої поверхні: спочатку задана поверхня апроксимується (наближується) з достатньою точністю до багатогранної поверхні. Далі будується розгортка багатогранної поверхні, а одержані на розгортці точки, які належать кривій лінії на поверхні, сполучаються кривою лінією.

7. Для побудови розгорток призматичних і циліндричних поверхонь застосовують спосіб нормального перерізу або спосіб „розкочування”

8. Спосіб нормального перерізу ґрунтується на побудові розгортки нормального перерізу у вигляді прямої лінії, перпендикулярної до ребер або твірних поверхні.

9. Спосіб „розкочування” ґрунтується на суміщенні граней призми або ділянок циліндричної поверхні з площиною послідовним обертанням їх навколо ребер або твірних до суміщення з площиною.

10. Наближені (умовні) розгортки не розгортних поверхонь виконують шляхом їх апроксимації ділянками розгортних поверхонь і побудови розгортки цих ділянок.

57.

Задачі для підготовки до практичних занять:

18.1. Побудувати розгортку поверхні похилої піраміди з нанесенням лінії перерізу площиною Σ.

Перетин прямої з поверхнею - student2.ru

18.2. Побудувати повну розгортку зрізаного конуса.

Перетин прямої з поверхнею - student2.ru

58.

Аудиторні задачі:

18.3. Побудувати розгортку заданої поверхні.

Перетин прямої з поверхнею - student2.ru

59.

Перетин прямої з поверхнею - student2.ru

Завдання 6. Перетин геометричних тіл прямою лінією

та побудова розгортки

Умова: Побудувати перетин заданих поверхонь призми, піраміди, циліндра, конуса, сфери відрізком прямої. Визначити видимість прямої на проекціях. Побудувати розгортку поверхні з нанесенням точок перетину прямої з поверхнею.

Завдання виконати на аркуші формату А4. Варіанти наведені в табл. 6 збірника завдань.

Приклад виконання завдання наведено в методичних вказівках.

60.

Наши рекомендации