Основные законы распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение

Равномерный закон распределения

Непрерывная случайная величина x, равномерно распределена на промежутке [a; b], если ее плотность вероятности fx(х) постоянна внутри этого промежутка (см. рис. 9).

Основные законы распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение - student2.ru

По свойству функции fx(х) имеем

Основные законы распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение - student2.ru , откуда Основные законы распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение - student2.ru .

Равномерное распределение случайной величины X на участке Основные законы распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение - student2.ru обозначают как Основные законы распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение - student2.ru

Для равномерного распределения функция Fx(x) примет вид

Основные законы распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение - student2.ru

График функции Fx(x) представлен на рис. 10.

Закон распределения непрерывной случайной величины можно определить заданием либо функции fx(х), либо функции Fx(x).

Легко показать, что Основные законы распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение - student2.ru и Основные законы распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение - student2.ru

Пример 22. Пусть длина стандартных труб, выпускаемых заводом, колеблется от 2,950 до 3,005 м., то есть является случайной величиной. Предположим, что распределение этой случайной величины подчиняется равномерному распределению. Определить среднюю длину трубы и среднее квадратическое отклонение.

Решение.

Основные законы распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение - student2.ru

Основные законы распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение - student2.ru

Показательный (экспоненциальный) закон распределения

Непрерывная случайная величина x, имеет показательный (или экспоненциальный) закон распределения, если ее плотность вероятности fx(х) задается функцией:

Основные законы распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение - student2.ru

Здесь параметр распределения Основные законы распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение - student2.ru

Функция рассматриваемого распределения имеет вид:

Основные законы распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение - student2.ru

Основные законы распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение - student2.ru

Рис. 11. Графики плотности вероятности и функции распределения показательного распределения.

Для математического ожидания и дисперсии получают выражения: Основные законы распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение - student2.ru и Основные законы распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение - student2.ru

Показательное распределение и распределение Пуассона тесно связаны. Если последний – это распределение числа появления событий в заданный интервал времени, то в первом случае нас интересует длина промежутка времени.

Пример 23. Пусть в порт под погрузку в течении часа обычно прибывают в среднем 5 грузовиков. Порт работает с 8 утра. Какова вероятность того, что в промежуток времени с 8.15 до 8.30 прибудет грузовик?

Решение. Для временного интервала в 15 минут получим λ=(5/60)×15=1,25.

Если рассмотреть 15 минут как единицу времени, то для указанного в вопросе задачи промежутка времени полагаем α=1 и β=2. Тогда, учитывая, что Основные законы распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение - student2.ru Основные законы распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение - student2.ru получим Основные законы распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение - student2.ru Подставив сюда λ, α, β, получим искомую вероятность.

Нормальный закон распределения

В теории вероятностей вводится случайная величина, которая не имеет себе равных по возможности описания действительности. В центральной предельной теореме доказывается, что плотность вероятности всех непрерывных случайных величин, разброс значений которых обусловлен множеством разнообразных факторов, действующих примерно в одинаковой степени и независимо друг от друга, определяется функцией

Основные законы распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение - student2.ru

В этом случае говорят, что случайная величина имеет нормальное (гауссово) распределение плотности вероятности и записывается как Основные законы распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение - student2.ru

Здесь a и s – параметры: Основные законы распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение - student2.ru , Основные законы распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение - student2.ru .

Функция нормального распределения имеет вид:

Основные законы распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение - student2.ru

Если Основные законы распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение - student2.ru , то нормальное распределение называется стандартным (нормированным) с плотностью и функцией распределения соответственно:

Основные законы распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение - student2.ru

Эти функции протабулированы и для них имеются обширные статистические таблицы.

Основные законы распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение - student2.ru называется функцией Лапласа. Она связана с нормированной функцией Лапласа Основные законы распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение - student2.ru соотношением

Основные законы распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение - student2.ru

График кривой стандартногонормального распределения представлен на рис.12.

Основные законы распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение - student2.ru

Рис. 12. График кривой стандартного нормального распределения.

Для преобразования любой нормально распределенной случайные величины X в стандартную Z, необходимо воспользоваться заменой переменных: Основные законы распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение - student2.ru

Можно показать, что для Основные законы распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение - student2.ru Основные законы распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение - student2.ru

Случайные величины с нормальным распределением используют при решении задач двух типов.

В первой задаче определяется вероятность того, что случайная величина Основные законы распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение - student2.ru принимает значения в интервале Основные законы распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение - student2.ru . Эта вероятность находится по формуле:

Основные законы распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение - student2.ru

В задачах второго типа, по формуле приведенной ниже, ищется вероятность того, что случайная величина Основные законы распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение - student2.ru отличается от своего среднего значения a по абсолютной величине не больше, чем на Δ:

Основные законы распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение - student2.ru

Так, если Δ=σ, то получим P=0,68268; при Δ=2σ будет P=0,95450; а если Δ=3σ, то P=0,99730. Это значит, что случайная нормально распределенная величина практически не принимает значений, которые отличались бы от среднего значения по абсолютной величине больше, чем на 3σ (правило трех сигм).

Нормальное распределение иногда называют законом ошибок.

Пример 24. Распределение веса коробок конфет, выпускаемых кондитерской фабрикой, подчиняется закону нормального распределения со средним весом 250 г и средним квадратическим отклонением 5 г. Найти вероятность того, что отклонение веса коробок от среднего веса по абсолютной величине не превысит 8 г.

Решение.

Основные законы распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение - student2.ru

Значение нормированной функции Лапласа ищется по таблице в Приложении.

Пример 25.Высота саженцев представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием 40 см и средним квадратическим отклонением 3 см. Найти вероятность того, что высота произвольно взятого саженца будет больше 34 см, но меньше 43 см; вероятность того, что высота саженца отклонится от его математического ожидания не более чем на 1,5 см.

Решение. Обозначим за Х высоту саженца. Если случайная величина Х распределена по нормальному закону, то вероятность того, что высота произвольно взятого саженца будет больше 34 см, но меньше 43 см, будет

Основные законы распределения непрерывных случайных величин. Нормальное распределение - student2.ru

Наши рекомендации