Метод Ньютона для решения нелинейных уравнений

Построим эффективный алгоритм вычисления корней уравнения. Пусть задано начальное приближение . Вычислим в этой точке значение функции и её производной . Рассмотрим графическую иллюстрацию метода:

.

Далее получим следующее приближение в точке , проводя касательную из точки ( ) до пересечения с осью абсцисс:

Продолжая этот процесс, получим известную формулу Ньютона:

(3.10)

x

Рис. 3.3.Графическая иллюстрация метода Ньютона

Рассмотрим решение нелинейного уравнения методом Ньютона в пакете Excel. В качестве начального значения взято =3, которое удовлетворяет условию >0. Заданная точность . Дальнейшие вычисления приведем в виде таблицы (таб.3.2.).

Таблица 3.2. Вспомогательная таблица для вычисления корней нелинейного уравнения методом Ньютона

k	xk	f(xk)	f|(xk)	(xk+1 - xk)<eps
		16,0000000		-
	2,36	3,4242560	14,7088	нет
	2,127197	0,3710998	11,5749	нет
	2,095136	0,0065266	11,16879	нет
	2,094552	0,0000021	11,16144	нет
	2,094551	0,0000000	11,16144	да

В пакете Mathcadдля решения уравнения методом Ньютона используется ряд формул:

Корень уравнения равен 2,094551 и достигнут за 17 шагов.

Метод Ньютона (касательных) характеризуется квадратичной скоростью сходимости, т.е. на каждой итерации удваивается число верных знаков. Однако этот метод не всегда приводит к нужному результату. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

Преобразуем уравнение (3.1) к эквивалентному уравнению вида:

x=g(x) (3.11)

В случае метода касательных . Если известно начальное приближение к корню x=x₀, то следующее приближение найдем из уравнения x₁=g(x₀), далее x₂=g(x₁),... Продолжая этот процесс, получим рекуррентную формулу метода простой итерации

x_k+1=g(x_k) (3.12)

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будут выполнены условия (3.5-3.7).

Всегда ли описанный вычислительный процесс приводит к искомому решению? При каких условиях он будет сходящимся? Для ответа на эти вопросы опять обратимся к геометрической иллюстрации метода.

Корень уравнения представляется точкой пересечения функций y=x и y=g(x). Как видно из рис. 3а, если выполняется условие , то процесс сходится, иначе – расходится (рис3.4б).

(a) (б)

Рис. 3.4.Сходимость итерационных методов: а) процесс сходится;

б) процесс расходится.

Изучая самостоятельно условия сходимости, убедитесь, что интервал более предпочтителен, чем , поскольку на нем наблюдается двухсторонняя сходимость к корню.

Итак, для того чтобы итерационный процесс был сходящимся и приводил к искомому результату, требуется выполнение условия:

(3.13)

Переход от уравнения f(x)=0 к уравнению х=g(x) можно осуществлять различными способами. При этом важно, чтобы выбранная функция g(x) удовлетворяла условию (3.13). К примеру, если функцию f(x) умножить на произвольную константу q и добавим к обеим частям уравнения (3.1) переменную х, то g(x)=q*f(x)+x . Выберем константу q такой, чтобы скорость сходимости алгоритма была самой высокой. Если 1<g’(x)<0, то сходимость итерационного процесса будет двусторонней. Производная по х от этой функции: . Наибольшую сходимость получим при g’(x)=0, тогда и формула (3.12) переходит в формулу Ньютона (3.10).

Метод Ньютона обладает высокой скоростью сходимости, однако он не всегда сходится. Условие сходимости , где g(x) = x – f(x)/ f’(x), сводится к требованию .

В практических расчетах важно выбирать начальное значение как можно ближе к искомому значению, а в программе устанавливать «предохранитель от зацикливания».

Недостатком метода является и то, что на каждом шаге необходимо вычислять не только функцию, но и ее производную. Это не всегда удобно. Одна из модификаций метода Ньютона - вычисление производной только на первой итерации:

(3.14)

Другой метод модификации – замена производной конечной разностью

(3.15)

тогда

(3.16)

Геометрический смысл такого изменения алгоритма Ньютона состоит в том, что от касательной мы приходим к секущей. Метод секущих уступает методу Ньютона в скорости сходимости, но не требует вычисления производной. Заметим, что этот метод близок к методу хорд (3.9), однако, в отличие от него, начальные приближения в методе секущих могут располагаться как с разных сторон от корня, так и с одной стороны.

Дополнительное задание: основываясь на алгоритме Горнера, составьте программу табуляции и решения алгебраических уравнений.