Интервалы знакопостоянства функции

Определение 8. Интервалы, в которых функция сохраняет определенный знак, называются интервалами знакопостоянства данной функции.

Очевидно, что график функции лежит выше оси абсцисс, когда и ниже, когда Функция меняет свой знак при переходе через нули функции или через точки разрыва. На интервале, где функция непрерывна и не имеет нулей, ее знак сохраняется.

2.7.1. Алгоритм нахождения интервалов знакопостоянства

1) Найти область определения функции

2) Решить уравнение корни уравнения, входящие в будут являться нулями функции.

3) На числовую прямую нанести область определения функции и нули функции. В полученных интервалах определить знак функции.

4) Указать интервалы знакопостоянства функции.

Пример 2.5. Найти интервалы знакопостоянства функции.

а)

Решение.

1. Область определения функции

2. Решим уравнение Нулями функции являются точки

Знак функции у

-2/3

_

+

+

_

х

3. На числовой оси отметим нули функции и в полученных интервалах определим знаки функции (рис. 3).

Рис. 3. Промежутки знакопостоянства

4. Функция принимает положительные значения (график выше оси ) при и отрицательные значения (график ниже оси ) при

б)

Решение.

1. Область определения функции

2. Решим уравнение Корней нет, следовательно, нулей функции нет.

3. Функция принимает положительные значения при любом значении переменной входящем в область определения функции, т. е. график функции лежит выше оси абсцисс.

Непрерывность функции

Определение 9. Пусть функция определена в точке и в некоторой окрестности этой точки. Функция называется непрерывной в точке если

Должны выполняться три условия непрерывности функции в точке

1) функция определена в точке и ее окрестности;

2) существуют конечные односторонние пределы в точке

3) односторонние пределы в точке равнымежду собой и равны значению функции в этой точке:

Замечание.

Если в точке нарушается хотя бы одно из трех указанных условий, то функция в точке терпит разрыв.

Определение 10. Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции.

Определение 11. Точка разрыва называется точкой разрыва первого рода функции если в этой точке существуют конечные односторонние пределы функции, т.е. и При этом: а) если или не определено, то точка называется точкой устранимого разрыва (рис. 3, а); б) если то точка называется точкой конечного разрыва (рис. 3, б). Величину, равную называют скачком функции в точке разрыва первого рода.

Определение 12. Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода функции если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности (рис. 4, в).

а у О х

б у О х Рис. 4. Точки разрыва функции

в у О х

Теорема3.Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке области ее определения.

2.8.1. Алгоритм исследования функции на непрерывность

1. Найти область определения функции:

2. Определить точки разрыва.

3. Найти односторонние пределы в точках разрыва.

4. Выяснить характер разрыва.

Пример 2.6. Исследовать функцию на непрерывность:

1. Найдем область определения функции кроме т. е.

2. Точка является точкой разрыва.

3. Найдем односторонние пределы:

4. Следовательно, точка − точка разрыва 2-го рода.

Асимптоты графика функции

Определение 13. Асимптотой графика функции называется прямая линия, обладающая тем свойством, что расстояние от точки до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от

y x x=a y=kx+b y=f(x) O Рис. 5. Наклонная и вертикальная асимптоты

начала координат (т. е. прямая, к которой кривая графика неограниченно приближается). Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты. Определение 14. Будем говорить, что прямая является вертикальной асимптотой графика функции если (рис. 5).

Т е о р е м а 4. Прямая является наклонной асимптотой графика функции (рис. 5) тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы Если хотя бы один из пределов не существует (или равен бесконечности), то график функции не имеет наклонной асимптоты.

Замечания.

1. Из определения следует, что вертикальные асимптоты нужно искать в точках бесконечного разрыва функции (в точках разрыва второго рода). При приближении к точке разрыва (хотя бы с одной из сторон – слева или справа) стремится к бесконечностии график функции неограниченно приближается к прямой

2. График функции может иметь любое число вертикальных асимптот или вообще не иметьих.

3. Для выяснения вопроса о наличии асимптоты следует отдельно рассматривать пределы при и В связи с этим функция может

− иметь одну и ту же наклонную асимптоту при (рис.6, а);

− иметь разные наклонные асимптоты при и (рис. 6, б);

−иметь наклонную асимптоту только при или при (рис. 6, в).

4. Частным случаем наклонной асимптоты (при )является горизонтальная асимптота. Прямая является горизонтальной асимптотой графика функции при тогда и только тогда, когда

5. График функции может пересекаться с наклонной и горизонтальнойасимптотами в конечном или бесконечном числе точек.

у

х

х

х

О

у

у

О

О

Рис. 6. Примеры расположения наклонных асимптот

а

б

в

2.9.1. Алгоритм нахождения асимптот

1) Найти область определения функции.

2)Определить наличие точек разрыва второго рода(см. замечание 1).

3) Для уравнения наклонной асимптоты найти (если они существуют). Сделать вывод.

П р и м е р 2.7. Найти асимптоты графика функции:

а)

Решение.

1) Найдем область определения функции

2) Уравнение вертикальной асимптоты так как (т. е. в точке − разрыв второго рода).

3) Уравнение наклонной асимптоты

Итак, − наклонная асимптота графика функции.

б)

Решение.

1)

2) − вертикальная асимптота, так как

3) Выясним вопрос о наличии наклонной асимптоты при так как функция определена лишь при

Следовательно, график данной функции не имеет наклонной асимптоты (см. теорему 4).