Построение линий пересечения поверхности с помощью вспомогательных секущих плоскостей

При решении задач на построение линий пересечения поверхностей вспомогательные секущие плоскости обычно выбирают в виде плоскостей уровня (плоскостей, параллельных плоскостям проекций). Линии двух поверхностей имеют характерные (опорные, главные) точки, с которых и следует начинать построение линий пересечения. Они позволяют видеть, в каких границах можно изменять положение вспомогательных секущих плоскостей для определения произвольных точек.

Способ определения линии пересечения поверхности с помощью плоскостей, - ось которого – собственная прямая.

Этот способ применяется для построения линий пересечения:

а) двух конических поверхностей;

б) конической и цилиндрической поверхности;

в) конической поверхности с поверхностью пирамиды или призмы;

г) двух цилиндрических поверхностей;

д) цилиндрической поверхности с поверхностью пирамиды или призмы.

Рассмотрим несколько следующих задач.

1. Построить линии пересечения цилиндра и конуса, оси которых

пересекаются (рисунок 6.1).

Обе данные поверхности рассечены вспомогательными плоскостями I₂, II₂, III₂ и т.д., которые параллельны плоскости П₁. На горизонтальной проекции конуса получится ряд концентрических окружностей, обозначенных теми же номерами, а на проекции цилиндра – ряд образующих.

В пересечении образующих с соответствующими окружностями определяются горизонтальные проекции точек искомого сечения а, в, с и прочие, по которым затем находят их фронтальные проекции.

Найденные проекции точек соединяют плавными кривыми. Невидимые части

линии пересечения проведены штрихами на обеих проекциях.

Границей между видимой и невидимой частями линий пересечения являются крайние образующие цилиндра.

Рисунок 6.1

Такие наиболее характерные точки линий пересечения кривых поверхностей следует строить в первую очередь, т.е. начинать работу с определения точек, в которых крайние (очерковые) образующие каждой поверхности, ограничивающие контур видимости на П₁, П₂, пересекают другую поверхность. После этого находят проекции нескольких промежуточных точек.

Если кривая поверхность пересекается с многогранником, то контур линии пересечения состоит из нескольких кривых частей, пересекающихся между собой на ребрах многогранника, следовательно, в этих точках криволинейный контур имеет резкие изломы. Эти характерные точки следует определять в первую очередь. На рисунке 6.2 таковыми являются точки (1₁, 1₂), (2₁, 2₂), (3₁, 3₂), (4₁, 4₂), в которых ребра призмы пронизывают поверхность конуса.

В обоих рассмотренных примерах легко выбрать вспомогательные секущие плоскости так, чтобы в пересечении их с каждой из данных поверхностей получились простые линии – окружности или прямые. Особенность этих примеров состояла в том, что одна из данных поверхностей была проецирующей(т.е. ее образующие или ребра были перпендикулярны к одной из плоскостей проекций).

Рисунок 6.2

В таких случаях одна из проекций искомой линии уже имеется на эпюре: она совпадает с соответствующей проекцией той из данных поверхностей, которая является проецирующей (например, с профильной цилиндра на рисунке 6.1 или с фронтальной рисунке 6.2).

Вся задача, в сущности, сводится к нахождению по одной известной заранее проекции линии пересечения других ее проекций.

Затем найдены еще две характерные точки (51, 52) и (61, 62), в которых крайняя образующая конуса пересекает грани призмы. После этого можно найти проекции нескольких промежуточных точек, в которых другие образующие конуса пересекают грани призмы (71, 72; 81, 82; 91, 92; 101, 102).

Пример. Построить линию пересечения двух поверхностей - конической поверхности Δ и сферы Т (рисунок 6.3).

Заданные поверхности имеют общую (фронтальную) плоскость симметрии, определяемую осью конуса i и осью сферы i ′ .

Построение линии пересечения начнем с определения опорных точек. Сначала отмечаем очевидные общие 1 и 7 точки поверхностей в пересечении их главных меридианов δ ∩ τ, так как поверхности имеют общую фронтальную плоскость симметрии Ф (Ф₁). Фронтальные проекции точек 1₂(7₂) = δ₂ ∩ τ

Горизонтальные проекции точек 1₁= 1₂1₁∩τ₁ , 7₁= 7₂7₁∩τ₁. Эти опорные точки являются наивысшей 1 и наинизшей 7 точками линии пересечения, а также точками видимости на плоскости П₂.

Брать вспомогательные фронтальные плоскости параллельные П для построения следующих точек неудобно, так как они будут пересекать конус по гиперболам. Графически простые линии (окружности параллелей) на данных поверхностях получаются от пересечения их горизонтальными плоскостями уровня Г. Первую такую вспомогательную плоскость Г (Г₂) берем на уровне экватора сферы h (h₂). Эта плоскость пересекает конус по параллели n . В пересечении n и h, параллелей конуса и сферы, находятся точки видимости линии пересечения на плоскости П₁ - h₁∩n₁ = 4₁(4′₁); 4₁4₂ ∩h₂ (или n₂)= 4₂(4′₂).

Промежуточные точки 6 и 6′ линии пересечения построены с помощью плоскости Г′ (Г′₂), пересекающей поверхности по параллелям h′ и m.

h′₁ ∩m₁ = 6₁(6′₁); 6₁6₂ ∩ h′₂ = 6₂(6′₂).

Аналогично построены точки 2(2') и 3(3') с помощью вспомогательных плоскостей Г'' (Г₂'')и Г"' (Г₂'").

Видимость заданных поверхностей и точек линии пересечения на плоскости проекций П2 определяет фронтальная плоскость Ф (Ф₁). Плоскость Ф делит поверхности конуса и сферы на две симметричные части. Те части заданных поверхностей, которые расположены перед плоскостью Ф на плоскости П₂ видимы, а значит видимы и точки 2' 3', 4', 5', 6' им принадлежащие. Точки 2, 3, 4, 5, 6 - невидимы на П2. Так как линия пересечения - кривая, симметричная относительно плоскости Ф, то на плоскости П₂ видимая ее часть и невидимая совпадают. Изображаем на чертеже видимую часть линии пересечения сплошной основной линией. Границы видимости - точки 1 и 7. Видимость заданных поверхностей и линии пересечения на плоскости проекций П₁,

определяет плоскость Г (Г₂) и поверхность сферы: та часть сферы, которая расположена над плоскостью Г на П₁, будет видима, значит и точки 1, 2', 2, 3, 3' на П₁ видимы, как ей принадлежащие. Точки 5, 5', 6, 6', - невидимы на П₁. Границы видимости - точки 4 и 4'.

Соединяем одноименные проекции построенных точек с учетом их видимости плавными кривыми и получаем проекции искомой линии пересечения.

Рисунок 6.3