Обратная задача теории погрешностей

На практике очень часто необходимо уметь решать обратную задачу: каковы должны быть абсолютные погрешности аргументов функции, чтобы абсолютная погрешность функции не превышала заданной величины.

Пусть величина предельной абсолютной погрешности Обратная задача теории погрешностей - student2.ru задана.

Тогда Обратная задача теории погрешностей - student2.ru .

Предполагая, что все слагаемые равны между собой, будем иметь:

Обратная задача теории погрешностей - student2.ru .

Отсюда Обратная задача теории погрешностей - student2.ru .

В случае, когда предельная абсолютная погрешность всех аргументов Обратная задача теории погрешностей - student2.ru одна и та же, то:

Обратная задача теории погрешностей - student2.ru ; Обратная задача теории погрешностей - student2.ru .

7.1. Радиус основания цилиндра Обратная задача теории погрешностей - student2.ru ; высота цилиндра Обратная задача теории погрешностей - student2.ru . С какими абсолютными погрешностями нужно определить R и Н, чтобы объем цилиндра V можно было вычислить с точностью до 0,1 м Обратная задача теории погрешностей - student2.ru ?

Решение.

Объем вычисляется по формуле Обратная задача теории погрешностей - student2.ru и Обратная задача теории погрешностей - student2.ru . Подставляя все исходные данные, приближенно получим:

Обратная задача теории погрешностей - student2.ru ; Обратная задача теории погрешностей - student2.ru ; Обратная задача теории погрешностей - student2.ru .

Отсюда, т. к. п = 3, то, воспользовавшись формулой для вычисления погреш­ности функции, зависящей от трех переменных:

Обратная задача теории погрешностей - student2.ru ,

Будем иметь:

Обратная задача теории погрешностей - student2.ru ; Обратная задача теории погрешностей - student2.ru ; Обратная задача теории погрешностей - student2.ru

ТаблицаПогрешности значений элементарных функций.

Обратная задача теории погрешностей - student2.ru

Обратная задача теории погрешностей - student2.ru

8. Задания к лабораторной работе № 1:

8.1. Задания (самостоятельно).Найти предельные абсолютные и относительные погрешности чисел, если они имеют только верные цифры (таблица вариантов задания).

а) в строгом смысле; б) в широком смысле.

Таблица. Варианты заданий для выполнения самостоятельной работы

Обратная задача теории погрешностей - student2.ru

8.2. Задание для самостоятельной работы. Число х (табл.), все цифры которого верны в строгом смысле, округлить до трех значащих цифр. Для полученного результата Обратная задача теории погрешностей - student2.ru вычислить границы абсолютной и относительной погрешностей. В записи числа Обратная задача теории погрешностей - student2.ru , указать количество верных цифр по абсолютной и относительной погрешности.

Таблица. Варианты заданий для выполнения самостоятельной работы

Обратная задача теории погрешностей - student2.ru

8.3. Вычислить значение величины z (табл) при заданных значениях чисел а , b и с используя систематический учет абсолютных погрешностей после каждой операции, а также с помощью метода границ. Найти абсолютную и относительную погрешности z и определить по ним количество верных цифр в z, если цифры а , b и с верны в строгом смысле.

Таблица. Варианты заданий для выполнения самостоятельной работы

Обратная задача теории погрешностей - student2.ru

Обратная задача теории погрешностей - student2.ru

Обратная задача теории погрешностей - student2.ru

Обратная задача теории погрешностей - student2.ru

8.4. Решить следующие задачи, используя метод границ.

8.4.1. Длина воздушной трассы между двумя пунктами равна S км. Самолет преодолевает это расстояние за время t ч. Определить границы средней скорости самолета, если: Обратная задача теории погрешностей - student2.ru ; Обратная задача теории погрешностей - student2.ru .

8.4.2. Электроплитка рассчитана на напряжение Обратная задача теории погрешностей - student2.ru В. Найти сопротивление спирали электроплитки, если известно, что через нее должен пройти ток 5±0,1 А.

8.4.3. Медный брусок имеет объем V м Обратная задача теории погрешностей - student2.ru ( Обратная задача теории погрешностей - student2.ru ). Найти его массу, если плотность меди Обратная задача теории погрешностей - student2.ru кг/м Обратная задача теории погрешностей - student2.ru составляет Обратная задача теории погрешностей - student2.ru .

8.5. Решить следующие задачи, используя общую формулу погрешности.

8.5.1. Удельное электрическое сопротивление Обратная задача теории погрешностей - student2.ru металла круглого провода длиной l м с поперечным сечением d мм и сопротивлением R Ом определяется по формуле: Обратная задача теории погрешностей - student2.ru . Найти Обратная задача теории погрешностей - student2.ru , если: l=12,50 ±0,01 м, d=2,00±0,01 мм, R=0,068±0,0005 Ом, Обратная задача теории погрешностей - student2.ru =3,141 ±0,001. Определить относительную погрешность Обратная задача теории погрешностей - student2.ru .

8.5.2. Вертикальный цилиндрический резервуар наполнен жидкостью. Определить время, необходимое для опорожнения резервуара через круглое отверстие в дне. Диаметр резервуара D=1±0,01м, высота уровня жидкости H=2±0,02м, диаметр отверстия дна d=0,03±0,001м, коэффициент расхода Обратная задача теории погрешностей - student2.ru =0,6 ±0,02. Расчет (в секундах) ведется по формуле: Обратная задача теории погрешностей - student2.ru

8.6.Решить следующие задачи, используя обратную задачу теории погрешностей:

8.6.1. С какой точностью надо измерить радиус круга R = 30,5 см и каким количеством значащих цифр следует ограничиться для числа Обратная задача теории погрешностей - student2.ru , чтобы площадь круга была известна с точностью до 0,1%?

8.6.2. Длина сторон прямоугольника равны Обратная задача теории погрешностей - student2.ru , Обратная задача теории погрешностей - student2.ru . Какова допус­тимая предельная абсолютная погрешность при измерении этих величин одинаковая для обеих сторон, чтобы площадь S прямоугольника можно было определить с предельной абсолютной погрешностью Обратная задача теории погрешностей - student2.ru ?

Вопросы по теме

1. Что такое абсолютная и относительная погрешности?

2. Как классифицируются виды ошибок?

3. Что значит цифра, верная в строгом, широком смыслах?

4. Как находится погрешность округленного числа?

5. Как определить количество верных цифр по относительной погрешности приближенного числа?

6. Как распространяются абсолютная и относительная погрешности в арифметических действиях?

7. Как осуществить оценку погрешности значений элементарных функций?

8. Как формулируется обратная задача теории погрешности?

9. Каковы должны быть абсолютные погрешности аргументов функции, чтобы абсолютная погрешность функции не превышала заданной величины?

В каких случаях используется метод границ?

Наши рекомендации