Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер

Анықтама.Егер алдын ала берілген, мейілінше аз Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru санына Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru саны табылып, Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru шартын қанағаттандыратын барлық х үшін Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru теңсіздігі орындалса, онда А саны f(x) функциясының х аргумент х0-ге ұмтылғандағы шегі деп аталады да, былай жазылады: Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru .Анықтамадағы Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru теңсіздікті ашсақ, мынадай қос теңсіздік аламыз: Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru . Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru интервалды Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru нүктесінің Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru -маңайы дейді. Сол сияқты Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru теңсіздікті ашсақ: Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru . Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru интервалды А нүктесінің Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru -маңайы дейді.

y А+ Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru y=f(x) A s c1BLAQItABQABgAIAAAAIQCt1jxQCwMAAJIGAAAOAAAAAAAAAAAAAAAAAC4CAABkcnMvZTJvRG9j LnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQDrcxdj3AAAAAkBAAAPAAAAAAAAAAAAAAAAAGUFAABkcnMvZG93 bnJldi54bWxQSwUGAAAAAAQABADzAAAAbgYAAAAA " path="m,1230l,e" filled="f"> A+ Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru 0 x0- Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru x0 х0 + Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru x

Енді анықтаманы сурет бойынша айтсақ: Алдын ала берілген, Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru санына Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru саны табылып, аргумент мәндері Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru нүктесінің Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru -маңайына тиісті болғанда функцияның сәйкес мәндері А нүктесінің Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru -маңайында жатса, А саны f(x) функциясының х аргумент х0-ге ұмтылғандағы шегі деп аталады.

Мысал. Өндіріс орны шығаратын заттың бір данасының бағасы y пен оған деген сұраныс x (мың дана) арасындағы байланыс мынадай қатынаспен анықталған:

Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru .

у 210 200 190 0 11,4 12 12,6 х

Шешуі. (190; 210) интервалының ортасы А=200 теңге, олай болса Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru =10. Шек анықтамасындағы Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru теңсіздігін қолданайық: Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru . Осы теңсіздікті түрлендіріп ықшамдасақ мынадай теңсіздік аламыз: Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru .

Соңғы теңсіздікті мынадай Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru түрге келтіріп жазсақ, есеп сұрағына жауап беруге болады: Заттың бір данасының бағасының 200 теңгеден ауытқуы 10 теңгеден артпауы үшін, өндіріс орны өнім көлемінің өзгеруін 0,6 мың данадан асырмауы керек екен.

Айталық Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru және Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru функцияларының Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru жағдайда Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru және Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru шектері бар болсын.

7. Екі функцияның алгебралық қосындысының шегі шектердің алгебралық қосындысына тең болады, яғни

8. Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru = Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru .

9. Екі функцияның көбейтіндісінің шегі шектердің көбейтіндісіне тең болады, яғни

Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru = Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru .

Салдар. Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ruШектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru , мұндағы С - const.

10. Екі функцияның қатынасының шегі шектердің қатынасына тең болады (әрине, егер бөлімдегі функция нолден өзгеше болса), яғни Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru = Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru .

11. Мысал. Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru функциясының Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru жағдайдағы шегін табу керек.

12. Шешуі. Қысқаша айтсақ Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru шек есептеу керек. Функция шегінің қасиеттерін қолданып есептейік: Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru . Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru функциясының Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru жағдайдағы шегі 4 болады екен.

Сурак1-ші тамаша шек

Теорема. Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru функциясы x=0 нүктеде анықталмаған, бірақ Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru жағдайда шегі бар және Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru Осы шекті бірінші тамаша шекдеп атайды.

42-суракБірінші тамаша шек салдары:

1) Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru ,

2) Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru ,

3) .

Мысал.а) Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru .

б) Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru .

Сурак Екінші тамаша шек

Теорема. Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru функциясының Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru жағдайда шегі бар және Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru

Осы шекті екінші тамаша шекдеп атайды. Мұндағы Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru иррационал саны Эйлер саны екені белгілі.

65. Бірінші және екінші тамаша шектер.Теорема. Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru функциясы x=0 нүктеде анықталмаған, бірақ Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru жағдайда шегі бар және Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru Осы шекті бірінші тамаша шекдеп атайды.

1) Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru ,

2) Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru ,

3) Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru .

Мысал.

а) Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru .

б) Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru .


Теорема. Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru функциясының Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru жағдайда шегі бар және Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru

Осы шекті екінші тамаша шекдеп атайды. Мұндағы Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru иррационал саны Эйлер саны екені белгілі.1) Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru ,a=e болғанда Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru ;

2) Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru ,a=e болғанда Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru ;

3) Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru Мысал. а) Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru екенін көрсет

Шешуі. Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru деген білгілеу енгізейік. Осыдан Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru . Және де Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru кезде Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru . Енді шек есептесек Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru .б) Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru

Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru

66. Функцияның үзіліссіздігі. Үзілу нүктелерінің түрлері. Анықтама. Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru функциясының Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru жағдайда шегі функцияның сол нүктедегі мәніне тең болса, яғни Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru , функция Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru нүктесіндеүзіліссіз деп аталады.

Егер Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru .

Сонда функция үзіліссіздігінің анықтамасын былай да айтуға болады: Берілген нүктеде аргументтің ақырсыз аз өсімшесіне функцияның да ақырсыз аз өсімшесі сәйкес келсе, яғни

Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru функция Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru нүктесінде үзіліссіз деп аталады. Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru функциясы қандай да бір аралықтың үзіліссіз болуы үшін, ол сол аралықтың әрбір нүктесінде үзіліссіз болуы керек.

Үзіліссіз функция қасиеттері.

1. Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru функциясы Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru нүктесінде үзіліссіз, ал Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru функциясы Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru нүктесінде үзіліссіз болса, Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru күрделі функциясы Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru нүктесінде үзіліссіз болады және Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru .

2. Нүктеде үзіліссіз функциялардың алгебралық қосындысы, көбейтіндісі және қатынасы (бөліміндегі функция нолден өзге болғанда) үзіліссіз функция болады

Анықтама. Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru функциясының Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru жағдайда шегі функцияның сол нүктедегі мәніне тең болмаса, яғни Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru , функция Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru нүктесінде үзілісті функция деп, ал Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru нүктені функцияның үзіліс нүктесі деп атайды. Біржақты шектер ұғымын енгізейік.

Айталық Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru және Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru , онда Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru деп жазады, ал осы жағдайдағы Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru шекті функцияның сол жақты шегі деп атайды. Дәл осылайша функцияның оң жақты Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru шегі де анықталады. Функцияның сол жақты және оң жақты шектерін біржақты шектер дейді.

Анықтама.Функцияның Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru нүктесінде өзара тең емес ақырлы біржақты шектері бар болса, Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru нүктесі функцияның І-текті үзіліс нүктесідеп аталады. Кейде оны ақырлы секіріс деп (10а-сурет) атайды.

Анықтама.Функцияның Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru нүктесіндегі ақырлы біржақты шектердің ең болмағанда біреуі жоқ болса, Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru нүктесі функцияныңІІ-текті үзіліс нүктесідеп аталады

Мысал. а) Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru функциясы Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru нүктесінде үзіліссіздікке зертте.

Шешуі. Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru

Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru ,

яғни сол жақты шегі –1, ал оң жақты шегі 1, ақырлы сандар, өз-ара тең емес, олай болса Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru нүктесі І-текті үзіліс нүктесі болады .

б) Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru функциясын үзіліссіздікке зертте.

Шешуі. Функция Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru аралығында анықталған. Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru нүктесіндегі біржақты шектерді табайық.

Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru ,

яғни сол жақты шегі 0, ал оң жақты шегі шексіздік. Олай болса Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru нүктесі ІІ-текті үзіліс нүктесі болады (10б-сурет).

в) Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru функциясын үзіліссіздікке зертте.

0 x0 ← x0+Δx x
Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru
Δx
Δy
y
3-сурет

Шешуі. Функция Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru аралығында анықталған. Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru нүктесіндегі біржақты шектерді табайық.

Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru

Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru ,

яғни сол жақты де, оң жақты шегі де шексіздік. Олай болса Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru нүктесі ІІ-текті үзіліс нүктесі болады

 
0 1 x
y
0 x
 
y
-1
0 2 x
 
y

67. Функцияның туындысы. Функция туындысы

Көп жағдайда функция мәнін білумен қатар аргументтің өзгерісіне байланысты функцияның өзгеру жылдамдығын білу де маңызды болады.y=f(x) функциясын қарастырайық (1-сурет). Осы функция Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru кесіндісінде анықталған және үзіліссіз болсын. Кез келген Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru үшін Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru айырма х аргументтің Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru нүктесіндегі өсімшесі деп аталады да, Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru деп белгіленеді. Сонымен, Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru = Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru x = Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru + Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru .Ал Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru айырма f(x) функциясының Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru нүктесіндегі өсімшесі деп аталады да, Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru деп белгіленеді. Сонымен, Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru = Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru = Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru .

2-суретте көрсетілген y=f1(x) және y=f2(x) функцияларды қарастырайық. Аргумент мәні Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru шамаға өзгергенде бұл функциялардың мәндері де белгілі бір шамаға өзгереді. Суретте f2(x) функцияның мәні f1(x) функцияға қарағанда көп өзгереді (өседі).

Аргумент мәні бірдей шамаға өзгерген кездегі функциялардың өзгерістерін салыстыру үшін функцияның өзгеріс жылдамдығы ұғымын енгізеді. Оны орташа жылдамдық дейді де, функция өзгерісінің аргумент өзгерісіне қатынасымен анықтайды:

Орташа жылдамдық х0 нүктесіне ғана қатысты қарастырылмай, аргумент өзгерісінен де байланысты болады. Функция жылдамдығын аргумент өзгерісінен байланыссыз қарастыру үшін функцияның нүктедегі жылдамдығын қарастырады. Функцияның нүктедегі жылдамдығын анықтау үшін х-ті х0 аргументке шексіз жақындатады, немесе Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru . Осы кезде үзіліссіз функция өзгерісі нолге жақындайды, яғни Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru . Нолге шексіз жақындайтын функция өзгерісінің нолге шексіз жақындайтын аргумент өзгерісіне қатынасы функцияның х0нүктедегі өзгеріс жылдамдығын береді. Функцияның х0нүктедегі осы өзгеріс жылдамдығын f(x) функциясының х0нүктедегі туындысы деп атайды:

Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru .

Анықтама. Функция өсімшесінің аргумент өсімшесіне қатынасының аргумент өсімшесі нолге ұмтылған кездегі шегі функция туындысы деп аталады. Әдетте оны Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru немесе Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru деп белгілейді:

Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru

68. Функцияның дифференциалы.Функция шегінің анықтамасына сүйеніп туынды табу Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru формуласын мынадай түрде көшіріп жазуға болады: Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru ,мұндағы

Анықтама.Функция өсімшесінің сызықты бөлігіфункция дифференциалыдепаталады да, dyдеп белгіленеді. Сонымен, Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru Мысал ретінде y=x функциясының дифференциалын табайық: Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru .Демек, аргумент дифференциалы оның өсімшесіне тең екен. Олай болса функция дифференциалын мынадай түрде жазамыз: Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru (4)

Егер аргумент өсімшесі абсолют шамасы бойынша аз шама болса, онда функция өсімшесі мен дифференциалы жуық шамамен тең болады, яғни Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru . Түрлендірейік, Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru . Осыдан, Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru (5). (5) формуламен функцияның мәнін жуықтап есептейді. Неғұрлым Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru аз болса, соғұрлым формула дәлірек болады.Функцияның туындысын алуды –функцияны дифференциалдаудейді.(а;в) интервалының әрбір нүктесінде туындысы бар функцияны сол интервалда дифференциалданады дейді. Мынадай тұжырым дұрыс болады: Егер f(x) функцисы х0 нүктеде дифференциалданса, онда функция х0 нүктеде үзіліссіз болады.

Бірақ осыған кері тұжырым дұрыс бола бермейді. Мысалы, y=|x| функциясы x=0 нүктеде үзіліссіз. Бірақ оның x=0 нүктедегі туындысы болмайды. Шынында да, егер бар болса, туындыны мына формуламен табар едік: Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru . Ал x=0 нүктеде Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru

болғандықтан Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru қатынастың шегі болмайды. Шек болмаса туындысы да жоқ.

Туындының геометриялық мағнасы.y=f(x) функциясы

х0нүктесінде дифференциал- дансын. Осы функцияның Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru қатынасы Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru бұрыштың тангенсіне тең. Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru жағдайда Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru . Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru жағдайда М0М қима функция графигіне х0 нүктесінде жүргізілген жанамаға айналады. Ал tg Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru жанаманың (түзудің) бұрыштық коэффициенті, яғни k= tg Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru . Сонымен, туындының геометриялық мағнасы: Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru туынды дегеніміз y=f(x) функция графигіне х0 нүктесінде жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициенті: k= tg Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru = Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru (2). Сонда y=f(x) функция графигіне х0 нүктесінде жүргізілген жанама теңдеуі мынадай түрде жазылады: у - Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru = Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru (x-x0)

69. Жоғары ретті туындылар мен дифференциалдар.Функция өсімшесінің аргумент өсімшесіне қатынасының аргумент өсімшесі нолге ұмтылған кездегі шегі функция туындысы деп аталады. Әдетте оны Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru немесе Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru деп белгілейді:

Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru
Дифференциалдау ережелері.u=u(x) және v=v(x) функциялардың әрқайсысы берілген х нүктесінде дифференциалданатын болса, онда бұл функциялардың қосындысы(айырымы), көбейтіндісі және қатынасы (v(x) Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru 0) сол нүктеде дифференциалданады, және мына формулалар дұрыс болады:

1) Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru 2) Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru , C=const 3) Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru

4) Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru 5). f(u(x)) күрделі функция туындысы: Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru .

6) y=f(x) функциясына кері функция (x=f - 1(y)) туындысы: Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru .

7) Айқын емес түрде берілген функция, F(x,y)=0, туындысы: Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru .

8) Дәрежелі-көрсеткіштік Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru функция туындысы. Алдымен берілген теңдеудің екі жағын логарифмдейік, Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru .

Екі жағынан туынды аламыз, Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru .

Сонымен, Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru .

9) Жоғары ретті туынды. Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru туындыны функцияның 1-ретті туындысы дейді. 1-ретті туындыдан алынған туынды функцияның 2-ретті туындысы деп аталады да, Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru деп белгіленеді. Сонымен, Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru . Осылайша 3-ретті, т.с.с. n–ретті туындыларды анықтауға болады,

Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru , …, Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru .

Функция өсімшесінің сызықты бөлігіфункция дифференциалыдепаталады да, dyдеп белгіленеді. Сонымен, Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru Мысал ретінде y=x функциясының дифференциалын табайық: Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru .Демек, аргумент дифференциалы оның өсімшесіне тең екен. Олай болса функция дифференциалын мынадай түрде жазамыз: Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru (4)

Егер аргумент өсімшесі абсолют шамасы бойынша аз шама болса, онда функция өсімшесі мен дифференциалы жуық шамамен тең болады, яғни Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru . Түрлендірейік, Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru . Осыдан, Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru (5). (5) формуламен функцияның мәнін жуықтап есептейді. Неғұрлым Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru аз болса, соғұрлым формула дәлірек болады.

Функцияның туындысын алуды –функцияны дифференциалдаудейді.(а;в) интервалының әрбір нүктесінде туындысы бар функцияны сол интервалда дифференциалданады дейді. Мынадай тұжырым дұрыс болады: Егер f(x) функцисы х0 нүктеде дифференциалданса, онда функция х0 нүктеде үзіліссіз болады.

70. Лопиталь ережесі.f(x) және g(x) функциялары Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru ( Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru ) жағдайда нолге немесе шексіздікке ұмтылсын. Егер олардың туындыларының қатынасының шегі (ақырлы не ақырсыз) бар болса, функциялар қатынасының да шегі бар болады және мына қатынас орындалады: Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru . Лопиталь ережесін қолданып ектерді есмептейік.

1. Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru

2. Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru

3. Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru Үшінші мысалда Лопиталь ережесін бірден қолдануға келмейді. Сондықтан, алгебралық түрлендіру көмегімен Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru түріндегі анықталмағандықты Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru немесе Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru түріндегі анықталмағандықтарға келтіреміз. Осы мақсатпен х2 бөлімнің бөліміне түсірілді.

4. Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru . Айталық Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru деп белгілеп, теңдеудің екі жағын логарифмдейік. Теңдеудіңоңжағынесептейі

71. Шексіз аздарды салыстыру.Екі шексіз аз шамаларды салыстыру үшін олардың қатынасын қарастырады. Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru - ш.а.ш. болсын, яғни Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru және Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru .

1. Егер Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru болса, онда Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru ұмтылғанда Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru ш.а.ш.-ның аздық реттері бірдей дейді.

2. Егер Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru болса, онда Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru ұмтылғанда Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru шексіз аз шамалар эквивалентті деп аталады және Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru ~ Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru деп белгіленеді.

Мысал. Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru шексіз аздар Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru ұмтылғанда эквивалентті, бұл бірінші тамаша шектің қасиетінен шығады.

Теорема. Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru ұмтылғанда Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru ш.а. болсын, онда:

1. Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru ;

2. Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru ~ Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru ;

3. Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru ~ Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru ;

4. Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru ~ Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru ;

5. Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru ~ Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru ;

6. Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru ~ Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru , Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru ;

Теорема.Егер ш.а.ф. –ды оларға эквивалентті функциялармен алмастырса, онда екі ш.а.ф. қатынасының шегі өзгермейді.

Мысал. Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru ,

себебi, Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru ~ Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru ~ Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru ~ Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru ~ Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru

72. Функцияның экстремумының қажетті шарты.х0 нүктесінің Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru - маңайы табылып, (х0- Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru х0+ Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru ), осы маңайдағы барлық х Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru х0 үшін f(x)>f(х0) теңсіздігі орындалса, х0 нүктесі f(x) функциясының минимум нүктесі деп, ал f(x)<f(х0) теңсіздік орындалса, х0 нүктесі f(x) функциясыныңмаксимум нүктесідеп аталады.

Функцияның минимум және максимум нүктелерінэкстремум нүктелерідеп атайды. Осы нүктелердегі функция мәндерін функция экстремумдарыдейді.

Экстремумның бар болуының қажетті шартын Ферма теоремасы береді.

Ферма теоремасы. х0 нүктесі y=f(x) функциясының экстремум нүктесі болып және осы нүктедегі Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru функция туындысы бар болса, онда Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru =0.Бұл теореманың геометриялық мағнасы: теорема шартын қанағаттандыратын нүктеде функция графигіне жүргізілген жанама абсцисса осіне параллель болады.

Экстремумның бірінші жеткілікті шарты. y=f(x) функциясы х0 нүктесінде үзіліссіз және қандай да бір Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru - маңайында функция туындысы бар болсын (х0 нүктесінде туынды болмауы мүмкін). Онда,

1) егер х аргумент х0 нүкте арқылы өткенде Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru таңбасын оңнан теріске өзгертсе, онда х0 нүкте функцияның максимум нүктесі болады;

2) егер х аргумент х0 нүкте арқылы өткенде Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru таңбасын терістен оңға өзгертсе, онда х0 нүкте функцияның минимум нүктесі болады;

3) егер х аргумент х0 нүкте арқылы өткенде Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru таңбасын өзгертпесе, онда х0 нүкте функцияның экстремум нүктесі емес.

73. Функцияның экстремумының жеткілікті шарты. Теорема (экстремумнің жеткілікті шарты). Егер Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru нүктесінде Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru функциясының туындысы нөлге тең болса және Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru нүктесінен өткенде Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru таңбасын өзгертсе, онда Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru нүктесі экстремум нүктесі болады: 1) егер таңба «плюс»-тен «минус»-ке өзгерсе, онда Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru – максимум нүктесі; 2) егер таңба «минус»-тен «плюс»-ке өзгерсе, онда Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru – минимум нүктесі болады.

2-мысал. Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru функцияны экстремумге зерттеп, өсу және кему аралықтарын анықтау керек. Функция туындысы Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru , осыдан Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru , Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru күдікті нүктесін табамыз. Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru нүктесінде функцияның туындысы болмайды, сондықтан ол да күдікті нүкте. Интервалдар тәсілімен f '(x)-тің таңбаларын анықтаймыз. Функция Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru барлық нүктелерде үзіліссіз, жеткіліктілік шарт бойынша Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru максимум нүктесі, ал Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru минимум нүктесі. (–¥, 0) және Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru интервалдарда функция өседі, ал Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru интервалда кемиді

74. Функцияның ойыстығы және дөңестігі Анықтама. Егер Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru интервалында дифференциалданатын Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru қисығының барлық нүктелері сол қисыққа жүргізілген жанамадан жоғары орналасса, онда онда қисықты осы аралықта ойыс (дөңестігі төмен қараған) дейді, ал Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru қисығының барлық нүктелері сол қисыққа жүргізілген жанамадан төмен орналасса, онда қисықты осы аралықта дөңес (дөңестігі жоғары қараған) дейді. Қисықтың ойыс және дөңес бөлігін бөліп тұратын нүктені иілу нүктесі деп атайды.

Теорема. Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru функциясы Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru интервалында екі рет дифференциалданатын болсын. Егер осы интервалдың әрбір нүктесінде 1) Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru болса, онда функцияның графигі бұл интервалда дөңес болады; 2) Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru болса, онда функцияның графигі бұл интервалда ойыс болады

4-мысал. Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru гиперболасы (0, +¥) интервалында ойыс болады, себебі Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru , ал (–¥, 0) интервалында дөңес, себебі Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru .

75. Функцияның графигінің асимптотасы.у= Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru теңдеумен берілген қисықты қарайық. Аргументі х не плюс шексіздікке Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru , не минус шексіздікке Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru ұмтылғанда берілген функция Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru мынадай Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru сызықты функцияға ұмтылуы мүмкін. Сызықты функция Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru түзуді кескіндейтіні бізге белгілі. Егер Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru болса, онда Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru түзуді х плюс, минус шексіздікке ұмтылғандағы у= Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru қисықтың асимптотасы деп атайды. Бұл асимтотаны көлбеу асимптота дейді. Ал егер Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru онда Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru түзуді у= Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru қисықтың горизонталь асимтотасы дейді. Ал егер Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru (5.36) болса, онда х=х 0 түзуді у= Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru функция графигінің тік асимптотасы деп аталады. Егер Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru түзуі , у= Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru функция графигінің, көлбеу асимтотасы болса, онда Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru немесе Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru бұл арадан Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru

(5.37) теңдікті былай да жазуға болады Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru

(5.38) және (5.39) теңдіктердің орындалуынан мынадай қортындыға келеміз: егер түзу Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru мына у= Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru қисықтың көлбеу асимптотасы болса, онда (5.38) және (5.39) теңдіктер орындалады. Керісінше , егер (5.38) және (5.39) теңдіктер орындалса, онда түзу Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru берілген функция графигінің асимптотасы болады.

76. Анықталмаған интеграл анықтамасы және қасиеттері.f(х) функциясының алғашқы функцияларының жиыны оның анықталмаған интегралы деп аталады және Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru деп белгіленеді,мұндағы Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru - интеграл белгісі; f(х) – интеграл астындағы функция; f(х)dx - интеграл астындағы өрнек. Сонымен, Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru =F(x)+C,

мұндағы F(x) – алғашқы функция, C –ерікті тұрақты. Мысалдағы, f(x)=3x2функциясының алғашқы функциясы F(x)=x3 болғандықтан, анықтама бойынша Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru .

Берілген функцияның алғашқы функциясын табу амалы функцияны интегралдау деп аталады. Функцияны интегралдау амалы дифференциалдау амалына кері амал.

Интеграл анықтамасынан мынадай қасиеттер шығады.

1. Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru .2. Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru .3. Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru =F(x)+C.4.Берілген аралықта f(x) және g(x) функцияларының алғашқы функциялары бар болса, онда f(x)+g(x) функциясының да алғашқы функциясы бар болады және Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru .

5. Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru . 6.Егер Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru = F(x)+C болса, онда Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru = Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru F(ax+b)+C.

7.Егер интеграл астындағы функцияның алымы бөлімнің туындысы болса, онда интеграл бөлімнің абсолют шамасының натурал логарифміне тең, яғни Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru , мұндағы u=u(x).Анықталмаған интегралдар кестесі:

  Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru = C   Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru = x+C
  Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru = Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru +C, x>0, Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru   Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru =ln|x|+C, x Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru 0
  Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru = Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru +C, Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru   Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru = Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru +C
  Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru =sinx+C   Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru =-cosx+C
  Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru =tgx+C, Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru   Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru =-ctgx+C, Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru
  Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru =arcsinx+C, -1<x<1   Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru =arcsin Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru +C, -a<x<a
  Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru =arctgx+C   Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru = Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru artg Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru +C
  Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru = Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru ln Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru +C   Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru ln Шектер туралы негізгі теоремалар.Шек ұғымы, біржақты шектер - student2.ru +C

77. Анықталмаған интегралды есептеу тәсілдері.Анықталмағанинтегралқасиеттері.Интеграланықтамасынанмынадайқасиеттершығады.1. .2. .3. = F(x)+C. 4. Берілгенаралықта f(x) және g(x) функцияларыныңалғашқыфункцияларыбарболса, онда f(x)+g(x) функциясыныңдаалғашқыфункциясыбарболадыжәне5. . 6. Егер = F(x)+C болса, онда = F(ax+b)+C. 7. Егеринтеграластындағыфункцияныңалымыбөлімніңтуындысыболса, ондаинтегралбөлімніңабсолютшамасыныңнатураллогарифмінетең, яғни ,мұндағы u=u(x).Анықталмағанинтегралдаркестесі:

Наши рекомендации