Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников

Итак, подошли к реализации передаточных функций объектов, проделав последовательность

Эксперимент Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru передаточная функция Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru последовательное соединение различных динамических звеньев.

При синтезе объектов с требуемыми динамическими характеристиками возникает задача реализации их передаточных функций пассивными или активными четырехполюсниками постоянного тока.

Последние содержат пассивные двухполюсники.

Пассивные двухполюсники и четырехполюсники постоянного тока – это электрические цепи из резисторов (активных сопротивлений), конденсаторов и индуктивностей.

Рассмотрим некоторые методы определения [11] электрических схем и параметров двухполюсников и четырехполюсников, состоящих из резисторов и конденсаторов, по передаточным функциям, которые они должны иметь.

Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru Любая передаточная функция может быть реализована пассивным двухполюсником или четырехполюсником из резисторов и конденсаторов с точностью до постоянного множителя.

4.3.1. Разложение передаточной функции активного четырехполюсника

Схема активного четырехполюсника представлена на рисунке 4.11.

Такие четырехполюсники состоят из электронных усилителей и цепей из резисторов, конденсаторов и индуктивностей.

В общем случае четырехполюсник содержит входную цепь с импедансом Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru и цепь с импедансом Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru , которая охватывает усилитель с отрицательной обратной связью.

Обычно используют операционный усилитель с весьма большим передаточным коэффициентом. Тогда передаточная функция четырехполюсника определяется выражением

Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru . (4.18)

Для синтеза двухполюсника активного четырехполюсника передаточную функцию Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru , которую он должен иметь, нужно представить в соответствии с выражением (4.18) в виде отношения

Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru ,

где Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru - операторные выражения полного сопротивления двухполюсника прямой о обратной цепи соответственно.

Полное сопротивление Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru может быть реализовано в виде RC–двухполюсника только если оно удовлетворяет следующим условиям:

а) функция Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru - рациональная дробь, у которой степень числителя равна или на единицу меньше степени знаменателя;

б) полюсы (корни полинома знаменателя) и нули (корни полинома числителя) функция Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru - простые, действительные, отрицательные и перемежаются между собой, т. е. между двумя соседними полюсами находится нуль и наоборот;

в) наименьшим по абсолютному значению является полюс, он может равняться нулю;

г) наибольшим по абсолютному значению является нуль; он конечен, если степень числителя функции Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru равна степени знаменателя.

В ряде случаев реализуемые значения Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru удается составить по формулам

Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru ,

где Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru - полиномы соответственно числителя и знаменателя функции Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru .

Полином Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru выбирают так, чтобы Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru удовлетворяли условиям реализуемости, он может содержать, в частности, двучлены из полиномов Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru .

4.3.2. Способы синтеза двухполюсников

Схему и параметры RС - двухполюсника можно найти различными способами.

К схемам с наименьшим числом элементов приводят следующие способы.

1 способ.Разложение Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru на простые дроби

Пусть сопротивление Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru , удовлетворяющее ранее перечисленным условиям, можно разложить на простые дроби

Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru . (4.19)

Здесь

Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru (4.20)

где Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru .

Каждый член разложения (4.19) можно реализовать простыми RС – двухполюсниками из числа представленных ниже в таблице.

Таблица 4.2. RС – схемы и их полные сопротивления

Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru RC - схема      
Полное сопротивление z(s) Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru

Последовательное соединение таких двухполюсников образует RС – двухполюсник, реализующий заданное полное сопротивление Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru .

2 способ.Разложение Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru в непрерывную дробь

Члены полинома числителя и знаменателя функции Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru нужно расположить по убывающим степеням s, после чего функцию можно разложить в непрерывную дробь.

Пусть степени числителя и знаменателя одинаковы и равны m. Тогда нужно определить первый член частного и результат записать так:

Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru (4.21)

Далее нужно найти первый член частного Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru , которая будет содержать s, т.к. степень Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru на единицу выше степени Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru , т.е.:

Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru . (4.22)

Подставив (4.22) в (4.21), получим:

Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru . (4.23)

Продолжение этого процесса приводит к искомому разложению

Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru . (4.24)

Из разложения (4.24) следует, что Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru есть полное сопротивление схемы, изображенной на рисунке 4.12.

 
  Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru

В случае, когда степень числителя на единицу меньше степени знаменателя, полное сопротивление Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru можно представить в виде:

Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru

и затем начать разложение его в непрерывную дробь. В результате получим:

Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru . (4.25)

 
  Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru

По разложению (4.25) можно получить соответствующую RC-схему полного сопротивления для рассматриваемого случая:

Пример

Активный четырехполюсник постоянного тока, выполняемый по схеме, представленной на рисунке 4.11, должен иметь следующую передаточную функцию:

Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru .

Выяснить, как должны быть выполнены соответствующие двухполюсники Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru и Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru .

Решение.

Преобразуем выражение требуемой передаточной функции.

Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru

или

Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru .

Ориентируясь на формулу Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru , выберем передаточные функции двухполюсников так, чтобы они удовлетворяли условиям реализуемости:

Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru .

Найдем схему и параметры двухполюсника обратной связи первым способом.

По формулам (4.13) и (4.14) имеем:

Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru .

Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru На основании таблицы 4.2 определим, что двухполюсник может быть выполнен по схеме, показанной на рисунке 4.14 со следующими элементами:

R=2 МОм; R1 = 150/25 = 6 МОм; с1 = 1/150 » 0.0667 мкф.

Далее найдем схему и параметры двухполюсника прямой цепи тем же способом.

По выражениям (4.13) и (4.14) определим:

Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru ;

Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru

На основании полученного разложения Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников - student2.ru и таблицы 4.2 схема двухполюсника будет иметь вид, представленный на рисунке 4.15.

Определим значения ее элементов:

R1 = 47.5/10 = 4.75 МОм;

с1 = 1/47.5 » 0.0211 мкф;

R2 = 112.5/50 = 2.25 МОм;

с2 =1/112.5 » 0.0089 мкф; R = 1 МОм.

Наши рекомендации