Обернена матриця. Приклади обчислення

Множення рядка на стовпець

Обернена матриця. Приклади обчислення - student2.ru

Матриці однакового розміру можна віднімати і додовати

Обернена матриця. Приклади обчислення - student2.ru

Любу матрицю можна помножити на число

Обернена матриця. Приклади обчислення - student2.ru

Множення матриці на стовпець

Обернена матриця. Приклади обчислення - student2.ru

Можливість множення матриці на матрицю

Матрицю A, записану зліва, можна помножити на матрицю B, записану справа, тоді і тільки тоді, коли кількість стовпців матриці А дорівнює числу рядків матриці В.

Правило множення матриці на матрицю

Кожен рядок лівої матриці множиться на стовпчик правої матриці

Обернена матриця. Приклади обчислення - student2.ru Обернена матриця. Приклади обчислення - student2.ru

Обернена матриця. Приклади обчислення

Знаходження оберненої матриці є важливою складовою в розділі лінійної алгебри. З допомогою таких матриць, якщо вони існують, можна швидко знайти розв'язок системи лінійних рівнянь.

Матриця А-1називається оберненою до матриці А, якщо виконуються наступні рівності

.АА-1= А-1А=Е

Якщо визначник матриці А відмінний від нуля, то матрицю називають неособливою або невиродженою.

Для того, щоб матриця мала обернену необхідно і достатньо, щоб вона була невиродженою.

АЛГОРИТМ ЗНАХОДЖЕННЯ ОБЕРНЕНОЇ МАТРИЦІ

Нехай маємо квадратну матрицю

Обернена матриця. Приклади обчислення - student2.ru

і потрібно знайти обернену до неї. Для цього потрібно виконати наступні дії:

1. Знайти визначник матриці.|А|=∆ . Якщо він не рівний нулю то виконуємо наступні дії. В іншому випадку дана матриця вироджена і для неї не існує оберненої.

2. Знайти алгебраїчні доповнення елементів матриці А. Вони рівні мінорам, помноженим на

-1в степені суми рядка і стовпця, для якого шукаємо.

3. Скласти матрицю з алгебраїчних доповнень елементів матриці Ата протранспонувати її. Ця матриця називається приєднаною або союзною і позначається A~.

4. Поділити приєднану матрицю на детермінант 1/∆. Отримана матриця буде оберненою та задовільнятиме властивостям, які викладені на початку статті.

Обернена матриця. Приклади обчислення - student2.ru

5)Метод Гауса розв’язування систем лінійних рівнянь складається із двох кроків: в першому із них система шляхом виключення невідомих (першого – із другого рівняння, першого і другого – із третього зводиться до трикутникового виду). У другому кроці із третього рівняння знаходимо третє невідоме, а із другого (після підстановки в нього значення третього невідомого) знаходимо друге невідоме. І, нарешті, із першого рівняння (після підстановки в нього значень другого і третього невідомих) знаходимо значення першого невідомого.

Метод Гауса. Виключимо невідоме X1 із другого рівняння, для чого помножимо перше рівняння на 5, а друге – на 2 і віднімемо перше одержане від другого одержаного рівняння. А далі віднімемо перше рівняння від третього. В результаті одержимо систему, яка має трикутникову форму

Обернена матриця. Приклади обчислення - student2.ru

Виконання необхідних дій в зворотному напрямі дозволяє одержати:

Обернена матриця. Приклади обчислення - student2.ru

Обернена матриця. Приклади обчислення - student2.ru 6)Метод Крамера. Обчислимо визначник системи ∆, тобто визначник, укладений із коефіцієнтів при невідомих : x1,x2,x3

Далі знаходимо значення допоміжних визначників ∆1 2 3. У випадку ∆1 стовпцем вільних членів замінений перший стовпець:

Обернена матриця. Приклади обчислення - student2.ru

Обернена матриця. Приклади обчислення - student2.ru У випадку ∆2 стовпцем вільних членів замінений другий стовпець:

Обернена матриця. Приклади обчислення - student2.ru

Обернена матриця. Приклади обчислення - student2.ru У випадку ∆3 стовпцем вільних членів замінений третій стовпець:

Обернена матриця. Приклади обчислення - student2.ru Тоді

Обернена матриця. Приклади обчислення - student2.ru

7) Система лінійних рівнянь. Матричний метод

Задана система N лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) з N невідомими x1,x2,..,xN коефіцієнтами при яких є елементи матриці A(aij), а вільними членами є числа b1,b2,..,bN

Обернена матриця. Приклади обчислення - student2.ru

Позначимо через X– матрицю-стовпець невідомих, через B– матрицю-стовпець вільних членів. Тоді попередню систему рівнянь можна записати у вигляді матричного рівняння:

A˟X=B

Якщо квадратна матрицяA має відмінний від нуля визначник ∆, то для неї існує обернена

A-1. Помноживши зліва в цьому рівнянні на A-1, одержимо

Обернена матриця. Приклади обчислення - student2.ru

Враховуючи, що A-1 A=E і E*X=X, одержимо матричний розв'язок системи

X= A-1 B

Знаходження матричного розв'язку називається матричним способом розв'язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР).

8)Геометрич вектором – назив напрямлений відрізок.

Довжина вектора (модуль)- це відстань між почат і кінцем |a|= Обернена матриця. Приклади обчислення - student2.ru

Вектор в якого початок і кінець збігається- назив нульовим вектором

2 вектори назив(колінеарними)- якщо вони лежать на одній прямій або на паралельн прямих

Вектори які лежать в одній площині або в паралельн площинах – назив компланарними

Два вектори – назив рівними якщо вони колінеарні однаково напрямлені і мають рівні довжини

Обернена матриця. Приклади обчислення - student2.ru ; Обернена матриця. Приклади обчислення - student2.ru

Обернена матриця. Приклади обчислення - student2.ru

Вектор довжина якого =1 – назив одиничним.

Одиничний вектор який співпадає з напрямком осей координ площини – назив ортам.

9)Розклад вектора за ортами координ осей a=(x,y,z)

a=xi+yj+zk

a(2i3i-1)

a=2i+3j-k

A(axayaz)

B(bxbybz)

AB=(bx-ax,by-ay,bz-az)

X= Обернена матриця. Приклади обчислення - student2.ru Y= Обернена матриця. Приклади обчислення - student2.ru Z= Обернена матриця. Приклади обчислення - student2.ru

Сумма двух векторов, заданных координатами

Пусть заданы a=(ax,ay) и b=(bx,by) , тогда вектор c=a+bимеет координаты (ax+bx, ay+by)

Довжина вектора (модуль)- це відстань між почат і кінцем |a|= Обернена матриця. Приклади обчислення - student2.ru

a+b=(ax+bx,ay+by,az+bz)

a-b= (ax-bx,ay-by,az-bz)

Обернена матриця. Приклади обчислення - student2.ru

Наши рекомендации