ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Вопрос 15.1. Градиент и производная по направлению функции нескольких переменных.

Определение 15.1. Векторным полем называется закон, по которому каждой точке X из некоторого множества M арифметического пространства ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru ставится в соответствие один и только один вектор.

Определение 15.2. Градиентом функции нескольких переменных ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru называется векторное поле, определяемое по закону

ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru .

Для функций 2-х и 3-х переменных градиент можно записать соответственно в виде

ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru

Замечание 15.1. Удобно точку X рассматривать как n‑мерный вектор ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru .

Градиент вектора обладает следующими двумя свойствами:

Свойство 15.1. Если ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru , то ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru .

Доказательство очевидно.

Свойство 15.2. (линейность градиента). Пусть даны два векторных поля ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru и ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru , которые имеют градиент в точке ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru , тогда

ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru ,

где ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru и ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru ‑ действительные числа.

Доказательство. Доказательство основано на свойстве линейности частных производных

ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru

Конец доказательства.

Определение 15.3. Производной по направлению, заданным единичным вектором ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru , в точке ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru от функции нескольких переменных ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru называется величина

ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru .

Связь между градиентом и производной функцией по направлению ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru определяется теоремой

Теорема 15.1. Если в точке ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru функция ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru дифференцируема, то

ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru .

где ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru ‑ вектор единичной длины.

Доказательство. Пусть ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru приращение аргумента, тогда полное приращение дифференцируемой функции равно

ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru ,

где ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru ‑ бесконечномалые функции при ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru . Так как

ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru ,

то полное приращение функции равно

ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru .

Отсюда следует доказываемая формула.

Конец доказательства.

Рассмотрим свойства производной по направлению

Свойство 15.1.Если ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru , то ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru .

Доказательство очевидно.

Свойство 15.2. Изменение вектора направления на противоположный меняет знак производной по направлению

ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru .

Доказательство. Формула следует из равенства

ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru .

Конец доказательства.

Свойство 3. (линейность производной по направлению). Пусть даны два дифференцируемых векторных поля ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru и ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru , тогда

ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru ,

где ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru и ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru ‑ действительные числа.

Доказательство. Из теоремы 15.1 следует

ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru

Конец доказательства.

Теорема 15.2. Градиент дифференцируемой функции ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru в точке ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru указывает на направление наискорейшего возрастания функции ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru в точке ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru .

Доказательство. Действительно, производная по направлению указывает на скорость возрастания функции в указанном направлении. Так как ( ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru ‑ угол между векторами)

ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru ,

то производная по направлению будет максимальна, если ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru , то есть если вектор ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru будет параллелен градиенту.

Конец доказательства.

Пример 15.1. Вычислить производную по направлению вектора ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru от функции ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru и градиент в точке M(1,3).

ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru .

Вектор ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru тогда

ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru .

Конец примера.

Замечание 15.1. В некоторых случаях удобно пользоваться такими понятиями как направляющие косинусы. Под этим понимают косинус угла между направляющим вектором и соответствующей осью координат. Если ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru ‑ единичный вектор, то направляющие косинусы определяются из соотношения

ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru ,

где ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru ‑ орт декартовой системы.

Теорема 15.2. Градиент функции перпендикулярен линии или поверхности равного уровня.

Доказательство. Ограничимся функциями 2-х переменных и докажем, что градиент перпендикулярен линии постоянного уровня, то есть в любой точке линии постоянного уровня градиент перпендикулярен касательной, проведенной к этой точке. Для функции 2-х переменных можно показать, что уравнение касательной к линии ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru в точке ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru равно:

ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru .

Откуда следует, что градиент функции ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru перпендикулярен вектору ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru , то есть самой касательной.

Определение 15.5. Нормалью к графику функции ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru в точке ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru называется прямая перпендикулярная любой касательной в этой точке плоскости. Так как уравнение касательной в точке ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru плоскости имеет вид

ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru ,

то вектор с координатами ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru будет параллелен нормали в точке ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru , следовательно, уравнение нормали

ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru .

Пример 15.2. Для функции ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru вычислить в точке ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru уравнение касательной плоскости и нормали.

ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru ,

тогда получаем:

уравнение касательной плоскости

ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru ,

уравнение нормали

ЛЕКЦИЯ № 15. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ - student2.ru .

Конец примера.

Наши рекомендации