Давление жидкости на плоскую стенку

Рассматривая задачи определения равнодействующей гидростатического давления на плоскую стенку необходимо добиться уяснения студентами следующих положений:

- равнодействующая гидростатического давления – равнодействующая распределенной системы параллельных сил, направленных в одну сторону;

- равнодействующая, как величина векторная характеризуется направлением, модулем и точкой приложения;

- в любом случае для определения модуля равнодействующей необходимо знать площадь плоской стенки Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru и гидростатическое давление в точке, совпадающей с геометрическим центром Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru площади;

- точка стенки Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru , через которую проходит линия действия равнодействующей гидростатического давления называется центром давления; геометрический центр стенки Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru не, как правило не совпадает с центром давления Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru .

3.1. Сила давления жидкости на плоскую стенку

Рассмотрим жидкость, покоящуюся в резервуаре с плоскими стенками, на свободную поверхность которой действует давление Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru (рис.3.1). На правой боковой стенке выделим площадь Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru , равнодействующую сил давления на которой и определим.

Система декартовых прямоугольных координат имеет оси y,z в плоскости правой стенки; ось x перпендикулярна им. Часть стенки площадью А показана в проекции на плоскость yz. Начало координат находится на линии уреза воды.

Рис. 3.1 На площадке dA давление Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru не изменяется и определяется величиной глубины погружения Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru
Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru . (3.1)

Равнодействующая сил давления на площади А стенки определяется интегралом

Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru . (3.2)

После интегрирования приходим к формуле

Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru (3.3)

Очевидно, что Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru , тогда из (3.3) следует

Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru , (3.4)

Где Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru - это статический момент рассматриваемой площади стенки относительно оси Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru . Это обстоятельство позволяет записать формулу (3.4) в следующем виде

Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru , (3.5)

где

· Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru глубина погружения центра площади А;

· Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru абсолютное давление в точке, совпадающей с центром площади А.

Однако, точка приложения равнодействующей сил давления F – центр давления D, не совпадает с центром площади А ,– точкой Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru .

Координата Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru центра давления D определяется по формуле

Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru (3.6)

Если пренебречь величиной давления на свободной поверхности и считать Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru , то

Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru . Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru (3.7)

Если пьезометрическая составляющая давления существенно ниже давления Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru , то

Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru . (3.8)

В гидравлических расчетах при Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru 10 можно с высокой точностью считать, что центр давления (точка D) совпадает с центром площади А – точкой С.

В том случае, когда ось Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru не является осью симметрии, необходимо искать и вторую координату центра давления Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru

Примеры решения частных задач приведены в таблице 3.1

Табл.3.1

№ п/п Схема
 

Примеры решения задач

Пример 3.1

Подпорная прямоугольная вертикальная стенка шириной b = 200 м сдерживает напор воды высотой Н =10 м

Определить силу полного давления на стенку Р и опрокидывающий момент M . Построить эпюру давлений.

Рис. 3.1

Решение

Сила полного давления на стенку определяется по формуле

Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru , (3.9)

где zc − глубина погружения центра тяжести стенки;

Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru − площадь стенки.

Для заданных условий задачи

Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru кН. (3.10)

Для определения опрокидывающего момента необходимо знать координату точки приложения силы полного давления, которую можно определить по формуле (3.7)

Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru (3.11)

где Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru − момент инерции площади стенки относительно горизонтальной оси, проходящей в плоскости свободной поверхности жидкости.

Для прямоугольного сечения

Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru . (3.11)

Следовательно

Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru . (3.12)

Опрокидывающий момент, момент относительно горизонтального ребра, проходящего через точку Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru , равен

Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru (3.13)

Избыточное гидростатическое давление в точке А

Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru , (3.14)

а в точке Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru

Для построения эпюры избыточного гидростатического давления необходимо в точке А нормально подпорной стенке отложить в масштабе значение Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru , а в точке Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru принять нулевое значение.

Соединив прямой линией точку В с концом вектора Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru , получим эпюру распределения избыточного гидростатического давления по высоте подпорной стенки.

Эпюру абсолютного давления можно построить аналогично, если увеличить избыточные давления в точках А и В на величину Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru .

Пример 3.2

Определить силу P полного давления на торцевую, плоскую стенку горизонтальной цилиндрической цистерны диаметром Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru и точку ее приложения D, если уровень бензина, плотность которого Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru ,находится на расстоянии Н = 2,4 м от дна цистерны. Цистерна герметически закрыта, избыточное давление паров бензина на свободную поверхность составляет Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru .

Рис. 3.2

Решение

Сила полного давления P на плоскую торцевую стенку цилиндрической цистерны складывается из силы, создаваемой давлением столба бензина высотой

Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru (3.15)

и силы, создаваемой избыточным давлением паров бензина Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru , соответствующего hб

Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru (3.16)

Так как Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru (см. рис. 3.1), получаем

Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru (3.17)

Для плоской стенки расстояние точки приложения силы полного давления от свободной поверхности жидкости равно

Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru , (3.18)

где Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru − момент инерции площади смоченной поверхности стенки относительно горизонтальной оси Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru , проходящей по краю свободной поверхности жидкости.

Т.к. плоская стенка имеет форму круга

Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru (3.19)

После подстановки численных значений в формулу ( ) находим

Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru , (3.20)

Пример 3.3

Трубопровод диаметром d = 0,7 м перекрыт круглым дроссельным затвором, вращающимся на горизонтальной оси. Слева от затвора трубопровод заполнен водой под манометрическим давлением Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru . Момент какой величины нужно приложить к оси затвора, чтобы он не открывался под действием давления воды?

Рис.3.3

Решение

Манометрическое давление распределяется по площади затвора равномерно. Его результирующая проходит через ось затвора и, следовательно, момента не дает.

Момент создает сила давления находящейся в трубопроводе воды, приложенная в центре давления затвора на глубине Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru .

Сила давления воды на затвор определяется по формуле

Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru (3.21)

Координата центра давления Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru определяется по формуле (3.7)

Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru (3.22)

К оси затвора необходимо приложить момент, равный произведению силы Р на расстояние Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru между центром давления и центром тяжести затвора, расположенным на оси трубы

Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru (3.23)

Пример 3.4

В резервуар налит керосин с плотностью Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru . Требуется определить диаметры d болтов, прикрепляющих крышку лаза, и найти положение центра давления на крышку, если уровень керосина в резервуаре находится на расстоянии H = 8 м от дна, число болтов п =12 , диаметр лаза d = 0,75 м и расстояние от его центра тяжести до дна h = 1 м . Допускаемое напряжение на разрыв для болтов Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru .

Рис. 3.4

Решение

Свободная поверхность жидкости в резервуаре находится под воздействием атмосферного давления. Действие атмосферного давления передается на внутреннюю поверхность крышки лаза, но оно же действует и на наружную поверхность крышки. Следовательно, расчет на прочность болтов, прикрепляющих крышку к фланцу лаза, должен выполняться только с учетом давления, создаваемого давлением столба жидкости.

Давление на крышку меняется по линейному закону от величины Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru до максимального значения Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru . График изменения Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru представлен на рис. 3.4.

Определяем равнодействующую гидростатического давления на крышку лаза

Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru . (3.24)

Сила Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru приложена в точке Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru крышки, координата которой определяется по формуле (3.7)

Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru . (3.25)

Смещение линии действия силы Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru относительно оси крышки невелико, всего 5 мм, поэтому будем рассчитывать болты, считая, что нагрузка между болтами распределяется равномерно. Диаметр тела болта найдем из условия прочности при растяжении

Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru (3.26)

Для крепления крышки необходимо выбрать болт стандартного диаметра Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru .

Пример 3.5

Построить эпюру гидростатического давления на ломаную стенку заполненного водой резервуара.

Определить силы полных давлений и точки их приложения на участке ломаной стенки АВС длиной L = 1м, Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru , Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru .

Рис. 3.5

Решение

Для построения эпюры избыточного гидростатического давления необходимо рассчитать величину значения давлений в точках Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru . Величина избыточного гидростатического давления определяется глубиной погружения точки от свободной поверхности

Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru (3.27)

Вектор давления проводим перпендикулярно поверхности стенки на каждом участке. Ординаты откладываем в масштабе (рис. 3.5).

Для определения результирующей гидростатического давления на каждом участке стенки необходимо найти давление в центре этого участка стенки:

На участке Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru

Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru (28)

На участке Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru

Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru (3.29)

При определении координат Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru , точек приложения равнодействующих сил гидростатического давления на поверхностях Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru и Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru необходимо учесть, что в формуле (3.6) для поверхности Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru , а для поверхности Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru . Для поверхности Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru , а для поверхности Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru . Тогда имеем

для поверхности Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru

Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru (3.30)

для поверхности Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru (3.5 б))

Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru (3.31)

где:

Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru

Тогда

Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru . (3.32)

Центр давления поверхности Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru располагается от свободной поверхности жидкости на глубине

Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru . (3.33)

Центр давления поверхности Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru располагается ниже ее центра тяжести по вертикали на расстояние Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru .

Пример 3.6

Щит, перекрывающий канал, расположен под углом Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru к горизонту и закреплен шарнирно к опоре над водой (рис.3.6).

Определить усилие T, которое необходимо приложить к тросу для подъема щита, если ширина щита b = 2 м, глубина воды перед щитом h1 = 2,5 м, а после щита h2 =1,5м. Шарнир расположен над высоким уровнем воды на расстоянии h3 = 1м. Весом щита и трением в шарнирах можно пренебречь.

Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru

Рис. 3.6

Решение

Для определения минимального значения силы Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru , необходимой для поворота щита, необходимо рассмотреть равновесие щита Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru под действием приложенных к нему сил Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru , (см. рис. 3.6). Весом щита и силами трения пренебрегаем.

Сила полного давления воды на щит с левой стороны

Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru (3.34)

Сила полного давления воды на щит с правой стороны определяется аналогично

Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru (3.35)

Определим расстояния от шарнира Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru до центров приложения сил давления (точки Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru ). Расчет проводим, учитывая только гидростатическое давление. Используем формулу (3.7).

Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru (3.36)

Расстояние от точки приложения силы P2 до шарнира определяется аналогично

Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru (3.37)
Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru ,  

Чтобы определить усилие Т, необходимое для подъема щита, составим уравнение моментов всех сил относительно шарнира Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru

Давление жидкости на плоскую стенку - student2.ru (3.38)

Наши рекомендации