Линейно зависимые и линейно независимые векторы

Векторы, их свойства и действия с ними

Векторы, действия с векторами, линейное векторное пространство.

Векторы- упорядоченная совокупность конечного количества действительных чисел.

Действия: 1.Умножение вектора на число: лямда*вектор х=(лямда*х1, лямда*х2… лямда*хn).(3,4, 0, 7)*3=(9, 12,0,21)

2.Сложение векторов (принадлежат одному и тому же векторному пространству) вектор х+вектор у = (х11, х22,… хnn,)

3. Вектор 0=(0,0…0)---n En – n-мерное (линейное пространство) вектор х +вектор 0 = вектор х

Теорема. Для того чтобы система n векторов, n- мерного линейного пространства была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы один из векторов были линейной комбинацией остальным.

Теорема. Любая совокупность n+ 1ого вектора n- мерного линейного пространства явл. линейно зависимой.

Сложение векторов, умножение векторов на числа. Вычитание векторов.

Суммой двух векторов и называется вектор , направленный из начала вектора в конец вектора при условии, что начало совпадет с концом вектора . Если векторы заданы их разложениями по базисным ортам, то при сложении векторов складываются их соответствующие координаты.

Рассмотрим это на примере декартовой системы координат. Пусть

Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru

Покажем, что

Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru

Из рисунка 3 видно, что Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru

Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru

Сумма любого конечного числа векторов может быть найдена по правилу многоугольника (рис. 4): чтобы построить сумму конечного числа векторов, достаточно совместить начало каждого последующего вектора с концом предыдущего и построить вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего.

Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru

Свойства операции сложения векторов:

Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru

В этих выражениях m, n - числа.

Разностью векторов и называют вектор Второе слагаемое является вектором, противоположным вектору по направлению, но равным ему по длине.

Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru

Таким образом, операция вычитания векторов заменяется на операцию сложения

Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru

Вектор , начало которого находится в начале координат, а конец - в точке А (x1, y1, z1), называют радиус-вектором точки А и обозначают или просто . Так как его координаты совпадают с координатами точки А, то его разложение по ортам имеет вид

Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru

Вектор , имеющий начало в точке А(x1, y1, z1) и конец в точке B(x2, y2, z2), может быть записан в виде Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru

где r2- радиус-вектор точки В; r1- радиус-вектор точки А.

Поэтому разложение вектора по ортам имеет вид

Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru

Его длина равна расстоянию между точками А и В

Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru

УМНОЖЕНИЕ

Так в случае плоской задачи произведение вектор на a = {ax; ay} на число b находится по формуле

a · b = {ax · b; ay · b}

Пример 1. Найти произведение вектора a = {1; 2} на 3.

Решение

3 · a = {3 · 1; 3 · 2} = {3; 6}

Так в случае пространственной задачи произведение вектора a = {ax; ay; az} на число b находится по формуле

a · b = {ax · b; ay · b; az · b}

Пример 1. Найти произведение вектора a = {1; 2; -5} на 2.

Решение

2 · a = {2 · 1; 2 · 2; 2 · (-5)} = {2; 4; -10}

Скалярное произведение векторов Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru и Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru где Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru - угол между векторами Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru и Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru ; если Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru либо Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru , то Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru

Из определения скалярного произведения следует, что Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru

где, например, Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru есть величина проекции вектора Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru на направление вектора Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru .

Скалярный квадрат вектора: Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru

Свойства скалярного произведения:

Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru

Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru

Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru

Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru

Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru

Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru

Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru

Скалярное произведение в координатах

Если Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru то Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru

Угол между векторами

Угол между векторами — угол между направлениями этих векторов (наименьший угол).

Векторное произведение(Векторное произведение двух векторов. )— это псевдовектор, перпендикулярный плоскости, построенной по двум сомножителям, являющийся результатом бинарной операции «векторное умножение» над векторами в трёхмерном Евклидовом пространстве. Произведение не является ни коммутативным, ни ассоциативным (оно является антикоммутативным) и отличается от скалярного произведения векторов. Во многих задачах инженерии и физики нужно иметь возможность строить вектор, перпендикулярный двум имеющимся — векторное произведение предоставляет эту возможность. Векторное произведение полезно для «измерения» перпендикулярности векторов — длина векторного произведения двух векторов равна произведению их длин, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы параллельны либо антипараллельны.

Векторное произведение определено только в трёхмерном и семимерном пространствах. Результат векторного произведения, как и скалярного, зависит от метрики Евклидова пространства.

В отличие от формулы для вычисления по координатам векторов скалярного произведения в трёхмерной прямоугольной системе координат, формула для векторного произведения зависит от ориентации прямоугольной системы координат или, иначе, её «хиральности»

Коллинеарность векторов.

Два ненулевых (не равных 0) вектора называются коллинеа́рными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Допусти́м, но не рекомендуется синоним — «параллельные» векторы. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены («сонаправлены») или противоположно направлены (в последнем случае их иногда называют «антиколлинеарными» или «антипараллельными»).

Сме́шанное произведе́ние векторов(a, b,c) — скалярное произведение вектора a на векторное произведение векторов b и c:

(a,b,c)=a ⋅(b ×c)

иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).

Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами( a,b,c) .

Свойства

Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, чтоСмешанное произведение в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и :

Смешанное произведение в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и , взятому со знаком "минус":

В частности,

Если любые два вектора параллельны, то с любым третьим вектором они образуют смешанное произведение равное нулю.

Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.

Геометрический смысл — Смешанное произведение по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда (см. рисунок), образованного векторами и ; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.

Компланарность векторов.

Три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведенными к общему началу, лежат в одной плоскости

Свойства компланарности

Если хотя бы один из трёх векторов — нулевой, то три вектора тоже считаются компланарными.

Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов, компланарна.

Смешанное произведение компланарных векторов . Это — критерий компланарности трёх векторов.

Компланарные векторы — линейно зависимы. Это — тоже критерий компланарности.

В 3-мерном пространстве 3 некомпланарных вектора образуют базис

Линейно зависимые и линейно независимые векторы.

Линейно зависимые и независимые системы векторов.Определение. Система векторов Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru называется линейно зависимой, если существует хотя бы одна нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору. В противном случае, т.е. если только тривиальная линейная комбинация данных векторов равна нулевому вектору, векторы называются линейно независимыми.

Теорема (критерий линейной зависимости). Для того чтобы система век торов Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru линейного пространства была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы, по крайней мере, один из этих векторов являлся линейной комбинацией остальных.

1) Если среди векторов Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru имеется хотя бы один нулевой вектор, то вся система векторов линейно зависима.

Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru В самом деле, если, например, Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru , то, полагая Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru , имеем нетривиальную линейную комбинацию Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru .▲

2) Если среди векторов Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru некоторые образуют линейно зависимую систему, то и вся система Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru линейно зависима.

Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru Действительно, пусть векторы Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru , Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru , линейно зависимы. Значит, существует нетривиальная линейная комбинация Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru , равная нулевому вектору. Но тогда, полагая Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru , получим также нетривиальную линейную комбинацию Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru , равную нулевому вектору.

2. Базис и размерность. Определение. Система линейно независимых векторов Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru векторного пространства Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru называетсябазисом этого пространства, если любой вектор из Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru может быть представлен в виде линейной комбинации векторов этой системы, т.е. для каждого вектора Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru существуют вещественные числа Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru такие, что имеет место равенство Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru Это равенство называется разложением вектора Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru по базису Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru , а числа Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru называютсякоординатами вектора Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru относительно базиса (или в базисе) Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru .

Теорема (о единственности разложения по базису). Каждый вектор Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru пространства Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru может быть разложен по базису Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru единственным образом, т.е. координаты каждого вектора Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru в базисе Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru определяются однозначно.

Главное значение базиса заключается в том, что операции сложения векторов и умножения их на числа при задании базиса превращаются в соответствующие операции над числами – координатами этих векторов. А именно, справедлива следующая

Теорема. При сложении двух любых векторов линейного пространства Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru их координаты (относительно любого базиса пространства) складываются; при умножении произвольного вектора на любое число Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru все координаты этого вектора умножаются на Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru .

Определение. Векторное пространство Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru называется Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru -мерным, если в нем существуют Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru линейно независимых векторов, а любые Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru векторов уже являются линейно зависимыми. При этом число Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru называется размерностьюпространства Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru .

Размерность векторного пространства, состоящего из одного нулевого вектора, принимается равной нулю.

Размерность пространства Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru обычно обозначают символом Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru .

Определение. Векторное пространство Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru называется бесконечномерным, если в нем существует любое число линейно независимых векторов. В этом случае пишут Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru .

Выясним связь между понятиями базиса и размерности пространства.

Теорема. Если Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru – векторное пространство размерности Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru , то любые Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru линейно независимых векторов этого пространства образуют его базис.

Теорема. Если векторное пространство Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru имеет базис, состоящий из Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru векторов, то Линейно зависимые и линейно независимые векторы - student2.ru .

Наши рекомендации