Выбор теоретического закона распределения

При исследовании надежности машин и их элементов после предварительного анализа результатов наблюдений выдвигают предположение о виде закона распределения значений показателей надежности. Выбор закона распределения на начальном этапе можно осуществить с помощью вариационной сетки, представляющей собой изображение кумулятивной кривой (кумуляты) -вариационного ряда в системе координат, в которой на ось абсцисс наносится величина признака (случайная величина) в равномерном масштабе, а на ось ординат - кумулятивные частоты или вероятности в функциональном неравномерном масштабе, «вытягивающим» кумулятивную кривую в прямую линию.

Характер теоретического распределения показателей надежности можно установить по ряду косвенных признаков. Например, в том случае, когда определенные расчетным (экспериментальным) путем математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение оказываются равными друг другу ( =𝝈), следует воспользоваться показательным распределением. Используемое для описания редко встречающихся событий распределения Пуассона также имеет специфическое свойство ( =𝝈).

В случае соблюдения указанных условий принято считать фактическое распределение приблизительно подчиняющимся нормальному распределению.

Теоретический закон распределения для выравнивания опытной информации ориентировочно также устанавливают по величине коэффициента вариации V .

Коэффициент вариациииспользуют для сравнения рассеивания двух и более признаков, имеющих различные единицы измерения. Коэффициент вариации представляет собой относительную меру рассеивания, выраженную в процентах. Он вычисляется по формуле:

,

где - искомый показатель, - среднее квадратичное отклонение, - средняя величина.

При этом считается, что если V < 0,30, используют закон нормального распределения, если V> 0,50 закон распределения Вейбулла, если V= 1,0 -экспоненциальный. Если значение коэффициента вариации находиться в интервале 0,30...0,50, то выбирают тот закон распределения (закон нормального распределения или закон распределения Вейбулла), который лучше совпадает с распределением опытной информации.

Для окончательного выбора теоретического закона распределения используют критерии согласия. Под критерием согласия подразумевается совокупность условий, подтверждающих справедливость принятых гипотез.

Критерии согласия являются объективными оценками близости экспериментальных (опытных) и теоретических распределений показателей надежности. При этом статистические данные показателей по результатам эксплуатации машин также относятся к опытным.

Критерии согласия позволяют ответить на вопрос: вызва­но ли расхождение опытного и теоретического распределений случайными причинами, связанными с недостаточным числом наблюдений или существенными причинами, т.е. тем, что теоре­тическое распределение плохо воспроизводит фактическое. При этом критерий согласия обычно выступает в виде некоторой ве­личины, оцениваемой с определенной вероятностью.

Разработанные в настоящее время методы исследования надежности в большинстве случаев требуют аналитического описания зависимостей уровня надежности элементов и систем от времени, для чего необходимо описание статистических рас­пределений (сглаживание или выравнивание статистических данных) различного рода математическими функциями и, в пер­вую очередь, теоретическими законами распределения f(x). При этом необходимо так выбрать аппроксимирующую функцию f(х), чтобы она учитывала вероятностные отклонения случайных точек (f*(x), х), получаемых при проведении испытаний, и со­гласовалось с данными испытаний, т.е. чтобы можно было счи­тать справедливым равенство:

где f*(х,) - статистическая плотность распределения случайной величины.

Для количественной оценки выполнения равенства разработано несколько критериев согласия. Суть их сво­диться к тому, что выбирается некоторый количественный пока­затель ∆ меры расхождения между выбранной функцией теоре­тического распределения и результатом статистического экспе­римента. Задается такое допустимое ∆_д, что, если полученная в результате опыта мера расхождения ∆_оп окажется меньше, чем ∆_д, то принимается гипотеза .

В качестве меры расхождения ∆ обычно берут определен­ным образом выбранную функцию от разности между f*(t) и fo(t), либо разность между теоретической и статистической функцией распределения. Так как величина ∆ является функци­ей от случайных величин f (x) то она также является случайной величиной, плотность распределения которой 𝝋(∆) зависит от способа выбора меры∆и объема статистических данных N.

При обработке информации по показателям надежности техники используют несколько критериев, различных по мощности и методу обработки исходных данных. Наиболее часто в качестве критериев согласия опытных и теоретических распределений показателей надежности применяются следующие критерии: Колмогорова, Пирсона х2 (хи -квадрат), Романовского и Мизеса.