Залежність між тригонометричними функціями одного й того самого аргументу

sin² α + cos² α = l – основна триго­нометрична тотожність.

З цієї формули можна виразити sin α через cos α і навпаки:

За означенням тангенса і котангенса:

Перемноживши ці рівності, одержимо · = l

З цієї рівності можна виразити tg α через ctg α і навпаки:

Розділимо ліву і праву частину рівності sіn² α + соs² α = 1 на соs²α ≠ 0:

, де де

Розділимо ліву і праву частину рівності sіn² α + соs² α = 1 на sіn² α ≠ 0:

, де

Тригонометричні функції подвійного аргументу.

Тригонометричні функції подвійного аргументу виражають тригонометричні функції аргументу 2 через функції аргумента .

Із формули при , маємо:

Аналогічно із формули при одержуємо:

Якщо замінити за допомогою основної тригонометричної тотожності функцію на або на , то матимемо ще дві формули для

Із формули при , маємо:

Формули зведення.

Формулами зведенняназиваються співвідношення, за допомогою яких значення тригонометричних функцій аргументів , виражаються через функції кута α.

Для того щоб записати будь-яку з них, можна користуватися таким прави­лом:

1) В правій частині формули ставиться той знак, який має ліва частина при умові 0 < α < .

2) Якщо в лівій частині формули кут дорівнює ± α, ± α, то синус замінюється на косинус, тангенс — на котангенс і на­впаки. Якщо кут дорівнює π ± α, то заміна не виконується.

Наприклад: ;

За допомогою формул зведення знаходження значень тригонометричних функцій будь-якого кута можна звести до знаходження тригонометричних функцій гострого кута.

Тригонометричні рівняння. Розв’язування рівняння .

Рівняння, які містять змінну лише під знаком тригонометричної функції, називаються тригонометричними рівняннями.

Арксинусом числа називається таке число (кут) із проміжку , синус якого дорівнює .

Рівняння .

Якщо , то рівняння не має розв´язків, оскільки для будь – якого .

Якщо , то враховуючи те, що синус – це ордината точки одиничного кола, маємо: ординату, рівну , мають дві точки одиничного кола:

Враховуючиперіодичність , маємо:

Ці дві формули можна записати у вигляді однієї формули:

При парному маємо , при непарному .

Тригонометричні рівняння. Розв’язування рівняння .

Рівняння, які містять змінну лише під знаком тригонометричної функції, називаються тригонометричними рівняннями.

Арккосинусом числа називається таке число (кут) із проміжку , косинус якого дорівнює .

Рівняння .

Якщо , то рівняння не має розв´язків, оскільки для будь – якого .

Якщо , то враховуючи те, що косинус – це абсциса точки одиничного кола, маємо: абсцису, рівну , мають дві точки одиничного кола:

Враховуючиперіодичність , дістанемо множину розв´язків рівняння :