Баланс мощностей в цепях переменного тока

Комплексной мощностью называется произведение комплекса действующего значения напряжения на сопряжённый комплекс действующего значения тока .

Знак мнимой части сопряжённого комплекса изменён на обратный ( ) знак заданного комплексного числа (пример: , )).

Пусть на участке электрической цепи известно напряжение , ток . Сопряжённый ток равен: .

Тогда полная комплексная мощность данного участка равна:

,

где – сдвиг фаз между напряжением и током.

, [Вт] – активная мощность участка,

, [ВАр] – реактивная мощность участка.

Знак «+» перед соответствует индуктивному характеру сопротивления , знак «–» соответствует ёмкостному характеру .

При выполнении условия баланса мощностей активная и реактивная мощности источников питания должны равняться потребляемым активной и реактивной мощностям.

Мощности источника Э.Д.С. определяем по формуле:

,

где – сопряжённый комплекс тока в ветви с источником Э.Д.С.

Мощность источника тока:

,

где – напряжение на зажимах источника тока;

– сопряжённый ток источника тока.

Мощность источника Э.Д.С. входит в выражение баланса со знаком «+», если направление Э.Д.С. источника и тока в этой ветви совпадают; если направления Э.Д.С. источника и тока не совпадают, то мощность источника Э.Д.С. отрицательная.

Мощность источника тока входит в выражение баланса со знаком «+», если ток источника и напряжения на его зажимах направлены навстречу друг другу. При совпадении направлений тока источника и напряжения мощность источника отрицательная.

Активная и реактивная мощности потребителей равны соответственно:

, [Вт],

где – модуль действующего значения тока i–ой ветви.

, [ВАр],

где – эквивалентное реактивное сопротивление i–ой ветви.

При выполнении условия баланса мощностей:

;

.

Примеры расчёта цепей однофазного синусоидального тока

Пример 6.1

	Дано: , , , Определить токи в ветвях, составить и рассчитать баланс мощностей для схемы на рис. 6.1.
Рис. 6.1

Решение

Для расчёта будем использовать метод контурных токов.

Значение контурного тока принимаем равным величине источника тока . Уравнение составляем для контурного тока :

.

Выражаем ток из предыдущего уравнения:

.

Ток в третьей ветви равен контурному току , . Запишем этот ток в показательной форме комплексного числа:

.

Ток во второй ветви определим как алгебраическую сумму контурных токов, проходящих через данную ветвь:

.

Полная мощность приёмников определяется по формуле:

.

Активную мощность приёмников в данной схеме определим по следующей формуле:

.

Реактивную мощность приёмников определяем по формуле:

.

Полная мощность, выделяемая в систему источниками, определяется по формуле:

,

где

.

Вывод:

;

.

Выполнение баланса мощностей подтверждает правильность решения задачи.

Ответ: ; .

Пример 6.2

Рис. 6.2

Дано: , , , , , . Для схемы на рис. 6.2 рассчитать ток в неразветвлённой части схемы. Записать .

Решение

Записываем функцию времени в виде показательной формы комплексного числа:

.

Определяем входное сопротивление схемы относительно зажимов источника напряжения:

.

Мгновенное значение тока имеет вид:

.

Ответ: .

Пример 6.3

Рассчитать токи , , в схеме примера 6.2 графоаналитическим методом, построить топографическую диаграмму напряжений, совмещённую с векторной диаграммой токов.

Решение

Графоаналитический метод расчёта – это совокупность графического метода и метода пропорционального пересчёта. Метод основан на линейной зависимости между токами и напряжениями. Поэтому векторная диаграмма напряжений и токов, рассчитанная и построенная для одного значения, питающего цепь напряжения, сохранит свой вид при изменении величины этого напряжения. На диаграмме изменятся лишь масштабы напряжений и токов.

	Обозначим токи на схеме. Выберем масштабы: масштаб для тока ; масштаб для напряжения . Построение начинаем из точки, соответствующей отрицательной полярности входных зажимов, это точка «е» (рис. 6.3).
Рис. 6.3

Принимаем действующее значение тока . Откладываем вектор в горизонтальном направлении (рис. 6.4).

Рис. 6.4

Токи и напряжения, определённые с помощью диаграммы, будем обозначать одним штрихом.

Определяем по законуОма для действующих значений напряжения на участках « » и « » цепи.

;

.

Строим вектора данных напряжений. Участок « » содержит ёмкость, напряжение на нём отстаёт от тока на , участок « » – резистивный – его напряжение совпадает с током по фазе. Концы векторов напряжений обозначаем соответствующими буквами.

Сумма векторов и определяет вектор напряжения на участке «c–e». Из диаграммы по масштабу определяем величину напряжения Далее по закону Ома для участка с резистором определяем ток . Вектор тока строим с учётом масштаба из конца вектора , учитывая, что совпадает по фазе с напряжением . Сумма векторов и даёт вектор тока в общей ветви цепи: . По диаграмме определяем действующее значение . Теперь определяем действующие значения напряжений и . Строим вектор из точки С. Напряжение опережает ток на , т.к. участок « » – индуктивный, напряжение совпадает по фазе с током , т.к. участок « » содержит активное сопротивление.

Теперь соединим начало координат (точку «е») с точкой «а», получим вектор приложенного к цепи напряжения , равный с учётом : . Входное напряжение имеет начальную фазу . С учётом этого строим координатные оси. Ось вещественных чисел является осью отсчёта углов начальных фаз всех токов и напряжений.

По условию задачи 6.2. действующее значение входного напряжения равно . Для определения истинных значений токов и напряжений вводим коэффициент пересчёта .

Определим исходные токи:

;

;

.

Мгновенные значения этих токов:

;

;

.

Аналогично определяют напряжения на участках цепи.

Построенная в такой последовательности векторная диаграмма напряжений носит название топографической.

Следует помнить!

1) Построение топографической диаграммы начинается из точки, наиболее удалённой от входных зажимов и соответствующей отрицательной полярности источника. Эта точка является базисной, её потенциал условно равен нулю, её помещают в начало координат.

2) Построение векторов напряжений производят навстречу токам. Длина вектора равна его действующему значению, угол между вектором и осью абсцисс равен начальной фазе напряжения.

3) Построение векторов напряжений производят строго в соответствии с расположением элементов в цепи.

4) Каждой точке схемы соответствует определённая точка на топографической диаграмме. Топографические диаграммы представляют диаграммы комплексных потенциалов.

5) Конец вектора напряжения на топографической диаграмме указывает точку высшего потенциала.

Топографическая диаграмма позволяет измерить величину и начальную фазу напряжения любого участка цепи, не участвующего в расчёте. Например, действующее значение между точками « » и « » схемы:

; начальная фаза .

Следовательно .

Пример 6.4

	Дано: , , . Определить токи , , в схеме рис. 6.5; записать их мгновенные значения; определить показания ваттметра; построить векторную диаграмму токов и напряжений. По векторной диаграмме определить показания вольтметра. Проверить выполнение баланса мощностей.
Рис. 6.5

Решение

Применим метод комплексных амплитуд. Изобразим расчетную схему без подключенных приборов (рис. 6.6).

Рис. 6.6

еделим комплексное сопротивление цепи:

;

Запишем комплекс действующего значения входного нпряжения: .;

По закону Ома определяем входной ток:

.

Для определения токов и рассчитаем напряжение :

т.к. , то .

Токи и соответственно равны:

;

. ..

Определим показания ваттметра:

.

Расчет подтверждает – что активная мощность в ветви с конденсатором отсутствует.

Замечание! При расчете показаний ваттметра положительные направления тока , протекающего через последовательную обмотку ваттметра и напряжения , приложенного к параллельной обмотке ваттметра должны быть одинаковы относительно одноименных зажимов обмоток прибора, обозначенных точкой. Тогда , и стрелка ваттметра отклоняется по шкале вправо. Для построения векторной диаграммы выбираем масштабы напряжений и токов: , .

Векторную диаграмму токов строим согласно первого закона Кирхгофа в комплексной форме ; векторную диаграмму напряжений – согласно второго закона Кирхгофа в комплексной форме . Построение начинаем с вектора тока . Под углом к оси вещественных чисел строим вектор, длина которого равна в выбранном масштабе. Из конца вектора строим вектор тока , что соответствует сложению векторов. Результирующий вектор .

Рис. 6.7

Строим вектора напряжений на всех участках цепи. Построение начинаем из начала координат с вектора напряжения . Длина вектора соответствует действующему значению в выбранном масштабе напряжений. Направление вектора совпадает с направлением вектора тока , т.к. участок a–d – резистивный. Действующее значение напряжения . Вектор опережает ток , на . Сумма векторов напряжений и равна вектору напряжения , что соответствует рассчитанному ранее значению: . Вольтметр, подключенный параллельно участку а – в, покажет действующее значение .

Из конца вектора строим вектор напряжения . Длина вектора равна действующему значению в выбранном масштабе напряжений. Вектор опережает вектор тока на .

Длина результирующего вектора равна его действующему значению , начальная фаза , что соответствует исходным данным задачи.

Составим уравнение баланса мощностей в комплексной форме и проверим его выполнение:

.

; .

Активная мощность потребителей:

.

Реактивная мощность потребителей:

Баланс мощностей выполняется.

Ответ: ; ; ;

; ;

; ; .

Пример 6.5

	Дано: , , , , , , , . Для схемы на рис. 6.8 определить напряжение и записать его мгновенное значение.
Рис. 6.8

Решение

Принимаем 1-ый узел за базисный: .

Потенциалы 2–го и 4–го узлов будут соответственно равны:

, .

Составляем уравнение для 3–го узла:

.

Подставим в уравнение численные значения:

;

;

;

.

Решив последнее равенство, получим:

, т.е. .

Запишем мгновенное значение напряжения:

.

Ответ: ; .